- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
（1）求证：AF⊥平面CBF．
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF．
（3）求四棱锥F-ABCD的体积．
正确答案
解：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF∵AF⊂平面ABEF
∴AF⊥CB
又AB为圆O的直径∴AF⊥BF
∴AF⊥平面CBF
（Ⅱ）设DF的中点为N，则MN
∴MN
∴OM∥AN，
又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF
∴OM∥平面DAF
（Ⅲ）过点F作FG⊥AB于G∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高
∴
∴
解析
解：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF∵AF⊂平面ABEF
∴AF⊥CB
又AB为圆O的直径∴AF⊥BF
∴AF⊥平面CBF
（Ⅱ）设DF的中点为N，则MN
∴MN
∴OM∥AN，
又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF
∴OM∥平面DAF
（Ⅲ）过点F作FG⊥AB于G∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高
∴
∴
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列四个命题：
①
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：对于①，直线m可能在平面α内；故①错误；
对于②，根据面面垂直 的判定定理可以判断结论成立；故②正确；
对于③，根据线面垂直的性质定理得到结论正确；故③正确；
对于④，由已知得到直线m，n可能平行或者异面；故④错误．
故选：B．
设P是△ABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC两两垂直，则P在平面α内的射影是△ABC的（ ）
正确答案
解析
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
故选：D．
设a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，a∥b，b⊂α，则a∥α或者a⊂α；故A错误；
对于B，a∥α，a⊂β，α∩β=b，满足线面平行的性质，得到a∥b；故B 正确；
对于C，α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b，或者a，b异面；故C错误；
对于D，a∥α，b∥α，则a，b的位置关系有平行、异面或者相交；故D错误；
故选B．
若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
正确答案
解析
解：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a于α相交，所以直线a与平面α至少有一个交点；
故选D．
关于直线m、n与平面α、β，有下列四个命题：
①m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：①根据面面平行的性质定理知，m和n是第三个平面与此平面的交线时，有m∥n，m，n也可能是异面；故①错误；
②∵α⊥β，m⊥α，∴在β存在与m平行的直线，再由n⊥β得m⊥n，故②正确；
③由m⊥α，α∥β得m⊥β，再由n∥β得m⊥n，故③正确；
④当m⊂β时，由n⊥β得到m⊥n，故④错．
综上正确命题是②③，共有2个；
故选B．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（3）若E是侧棱PC上的动点，不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论．
正确答案
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴VP-ABCD=
（2）证明：连接AC交BD于F，则F为AC的中点，
∵E为PC的中点，
∴PA∥EF，
又PA⊄平面BDE内，
∴PA∥平面BDE
（3）不论点E在何位置，都有BD⊥AE
证明：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PC
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE
解析
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴VP-ABCD=
（2）证明：连接AC交BD于F，则F为AC的中点，
∵E为PC的中点，
∴PA∥EF，
又PA⊄平面BDE内，
∴PA∥平面BDE
（3）不论点E在何位置，都有BD⊥AE
证明：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PC
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE
（2016•泸州模拟）若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且m⊥α，n⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
正确答案
解析
对于选项B，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n，B是真命题；
对于选项C．如图，由题设条件知m、n可异面．不一定相交故C是假命题，应选C；
对于选项D，由题条件知若m、n相交，则α、β相交，D是真命题．
故选C
设a，b为两条直线α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（ ）
正确答案
解析
解：A．若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，若b⊥β，则α⊥β，故A正确．
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b关系不确定，故B错误．
C．根据面面平行的判定定理可知，若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β不一定成立，
D．若a∥α，α⊥β，则a⊥β不一定成立，
故选：A．
设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，m∥β，则α∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
正确答案
解析
解：①若n∥α，经过n的平面与α交于a，根据线面平行的性质定理，可得n∥a，m⊥α，则m⊥a，∴m⊥n，正确；
②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，由m⊥α，可得m⊥γ，正确；
③若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故不正确；
故选：A．
线a、b和平面α，下面推论错误的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：对于A，由线面垂直的定义可以得到，正确；
对于B，由线面垂直的性质定理可以得到，正确；
对于C由线面垂直的性质定理及直线与平面的位置关系可得，正确；
对于D，由直线与平面平行的性质定理及空间两直线的位置关系得，错误；
故选D．
在空间中，设l，m为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若l⊂α，m不平行于l，则m⊂α，m平行于α，m与α相交都有可能，故不正确；
若l⊂α，m⊂β，且α，β不平行，则l，m可以与交线平行，故不正确；
若l⊂α，m不垂直于l，则m不垂直于α，利用反证法可得正确；
若l⊂α，m⊂β，l不垂直于m，α，β垂直时也成立，故不正确．
故选：C．
下列命题中，真命题是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，设m、n是正方体上底面内的两条相交直线，而平面α是正方体的下底面，
则m、n都平行于平面α，但是m与n不平行，因此A不正确；
对于B，由于α-l-β是直二面角，若m⊂α且m⊥l，则m⊥β，
但是条件中缺少了“m⊂α”，故不能得到“m⊥β”，因此B不正确；
对于C，若平面α∥β∥γ，m、n是分别位于β、γ内的异面直线，
则m∥平面α且n∥平面α，故C不正确；
对于D，由于直线m在平面α内的射影是一个点，所以直线m⊥α；．
又因为m⊥n，所以直线n与平面α平行或直线n在平面α内，因此D正确．
故选：D
已知三个平面α，β，γ，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a，求证：a⊥γ．
正确答案
∵α⊥γ，P∈α，
∴PQ⊂α，
∵β⊥γ，P∈β，
∴PQ⊂β，即α∩β=PQ，∴PQ与a重合，
∴a⊥γ．
解析
∵α⊥γ，P∈α，
∴PQ⊂α，
∵β⊥γ，P∈β，
∴PQ⊂β，即α∩β=PQ，∴PQ与a重合，
∴a⊥γ．
已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若m∥α，n∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面，所以A不正确；
对于B，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α，故正确；
对于C，α⊥β，m∥α，则m与β平行，相交、共面都有可能，故不正确
对于D，两个平面平行的判定定理：若m⊂α，n⊂α且m、n是相交直线，m∥β，n∥β，则α∥β，故不正确．
故选：B．
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