- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
下列命题中，是假命题的为（ ）
正确答案
解析
解：A．平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，所以A不正确；
B．平行于同一平面的两个平面平行，由两平面平行的性质定理，可知B正确；
C．垂直于同一平面的两直线平行，由直线与平面垂直的性质定理可知C正确；
D．垂直于同一直线的两平面平行，由两平面平行的判定定理和两直线垂直的结论可判断D正确．
故选A．
已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（ ）
正确答案
解析
解：A．若m∥n且m⊂α，n⊂β，则α与β可能平行，可能相交，当相交时，α与β可能垂直，所以A错误．
B．若α∥β，则由m⊥α，n⊥β，得到m∥n，与m，n是异面直线矛盾，所以α与β不会平行，所以B正确．
C．若m，n是相交直线且不垂直时，交点若在α和β的交线上时，满足m⊂α，n⊂β，此时α与β相交即可，所以α与β有可能会垂直，所以C错误．
D．若α∥β时，若m，n是异面直线，存在直线m，n满足m∥α，n∥β，所以α与β可以平行，所以D错误．
故选B．
已知α∩β=l，a⊂α，b⊂β，且a，b是异面直线，那么直线l（ ）
正确答案
解析
解：a∥l，b与l相交符合，排除A，a，b都与l相交，但不交于一点符合，排除B
对于C，若l与a、b都不相交，则a∥b，与a、b是异面直线矛盾，
故选：D．
设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中正确命题的序号是______．
正确答案
②③④
解析
解：①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α，是错误命题，由线面垂直的判定定理知，当m，n两直线平行时，不能得出线面垂直；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n，是一个正确命题，垂直于同一个平面的两直线平行，平行于同一条直线的两直线也平行，故可证得；
③若α∥β，l⊂α，则l∥β是正确命题，由题设条件知l与β无公共点，由线面平行的定义知，线面平行；
④若l∥α，l⊥β，则α⊥β，是正确命题，可在面α内找到一条直线与l平行，l⊥β，则这条线也垂直于β，由此面面垂直的条件足备．
综上②③④正确
故答案为②③④
命题P：直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线Q：直线平行于平面，则平行于平面内的任意一条直线，则（ ）
正确答案
解析
解：由题意，根据线面垂直的性质定理可以判断命题P正确；
根据线面平行的性质定理可知命题Q错误；
故选：A．
下列命题中，错误的个数有（ ）个
①平行于同一条直线的两个平面平行．
②平行于同一个平面的两个平面平行．
③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．
④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．
正确答案
解析
解：对于①，平行于同一条直线的两个平面可能相交，故①错误．
对于②，平行于同一个平面的两个平面根据面面平行的性质定理和判定定理可以得到平行，故②正确．
对于③，一个平面与两个平行平面相交，交线平行；满足面面平行的性质定理，故③正确．
对于④，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故④正确．
故选：B．
a，b是异面直线，以下四个命题，正确命题的个数是（ ）
①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；
③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面分别与a，b都平行．
正确答案
解析
解：∵a，b是异面直线，
∴在直线a上任取一点p，过P和直线b确定一个平面α，在平面α内过P做直线c∥b，
且a，c确定平面β，b∥β，故①正确；
②若过a至少有一个平面垂直于b，则b⊥a，而a与b不一定垂直，故②不正确；
③若直线l⊥β，则直线l⊥a，l⊥b，而直线l有无数条，故③不正确；
④过b上一点直线c∥a，则b，c确定一个平面γ，则所有与它平行且不过a的平面β都满足与两异面直线平行，故④正确．
故选C．
（2015春•诸城市期末）已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面．给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若m⊂α，n⊂β，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β．
其中真命题是（ ）
正确答案
解析
解：①因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，所以若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故为真命题；
②若m⊂α，n⊂β，则α∥β或α、β相交，故为假命题；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α、β相交，故为假命题；
④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，可得α内的两条相交直线平行于β，则α∥β，故为真命题．
故选：C．
已知直线a，b和平面α，且a⊥b，b⊥α，a⊄α，求证：a∥α．
正确答案
证明：过b上一点作直线c，使c⊄α且a∥c，则b⊥c．
b，c确定一平面β，α∩β=l，b⊥面α，那么b⊥l，
∴在β内，l∥c．
∴a∥l，
∵a⊄α，l⊂α
∴a∥α．
解析
证明：过b上一点作直线c，使c⊄α且a∥c，则b⊥c．
b，c确定一平面β，α∩β=l，b⊥面α，那么b⊥l，
∴在β内，l∥c．
∴a∥l，
∵a⊄α，l⊂α
∴a∥α．
给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是（ ）
正确答案
解析
①②④正确．
对于③，A′B′、A′D′都平行于一个平面AC，但它们不平行，故③错．
故选B．
已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：
①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；
②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的是______（填写所有真命题的序号）．
正确答案
③④
解析
解：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β或α、β相交，是假命题；
②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n或m，n相交或异面，是假命题；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，是真命题；
④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，是真命题，
故答案为：③④．
用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．
其中真命题的序号是（ ）
正确答案
解析
解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，
①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；
③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；
④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；
故选：D．
若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是______．
正确答案
在同一条直线上
解析
解：O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．
证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，
∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，
∴l⊂β，
∵l∩α=O，
∴O∈α，O∈β，
∴O=α∩β．
∵C，D∈α，∴α∩β=CD，
∴O∈直线CD．
∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．
故答案为在同一条直线上．
对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α、β都平行于γ；
②存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β；
正确的个数有（ ）
正确答案
解析
解：对于①，若平面α与β不平行，则不存在平面γ使得α、β都平行于γ，故①不正确；
对于②，若平面α与β平行，则垂直于α的平面γ必定与平面β平行
若平面α与β相交，则与α、β的交线l垂直的平面γ必定与α、β都垂直，因此②是真命题；
对于③无论平面α与β平行还是α与β相交，
在α内总有不共线的三点到β的距离相等，故③是真命题；
对于④，若存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．则平面α与β必定平行
因此若平面α与β不平行，则不存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．故④不正确．
综上所述，正确的命题有②③
故选：B
若a，b，l表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，给出如下四组命题：
①“直线a，b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a，b不相交”；
②“l⊥α”的充要条件是“直线l垂直于平面α内的无数多条直线”；
③“l∥α”的充分非必要条件是“直线l上存在两点到平面α的距离相等”；
④“α∥β”的必要非充分条件是“存在l⊂α，m⊂α且l∥β，m∥β”．
其中真命题是（ ）
正确答案
解析
解：“直线a、b为异面直线”⇒“直线a、b不相交”为真命题，
“直线a、b不相交”⇒“直线a、b为异面直线”为假命题
故：“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是：直线a、b不相交，即①错误；
根据线面垂直的定义，得②不正确；
l∥α”的必要非充分条件是“直线l上存在两点到平面α的距离相等”；故③不正确
根据面面平行的判定和性质知④正确
故选A
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