- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
（2014春•利川市校级期末）下列命题中不正确的是（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若l⊥α，垂足为A，A与m确定平面γ，γ∩α=a，则l⊥a，∵m⊥l，∴a∥m，∵m⊥β，∴a⊥β，∴α⊥β，故正确；
对于B，α∩β=m，满足l⊥m，l⊂α，m⊂β，故不正确；
对于C，在γ内作直线a垂直于α，γ的交线b，则a⊥α，经过a的平面与β交于c，则a∥c，∴c⊥α，∵c⊂β，∴α⊥β，故正确；
对于D，l∥m，l⊥α，则m⊥α，∵m⊂β，∴α⊥β，故正确．
故选：B．
设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列有四个命题：
（1）若a，b与α所成角相等，则a∥b；
（2）若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；
（3）若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β；
（4）若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．其中真命题是 ______．（写出所有真命题的序号）
正确答案
（4）
解析
解：（1），a，b与α所成角相等，则这两条直线可以平行、相交、异面，故错误；
（2），由a∥α，b∥β，α∥β，可以判定a∥β，b∥β，所以a，b可以平行平行、相交、异面，故错误；
（3），由面面平行的判定定，平面α与β可以相交，故错误；
（4），a⊥α，则直线a的一个方向向量是α的一个法向量，同理b⊥β，直线b的一个方向向量是β的一个法向量，
而α⊥β，则两个平面的法向量垂直，因此a⊥b，故正确．
故答案为：（4）
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，
有且仅有一条．由此可得A正确；
对于B，以圆锥的两条母线为例，它们与底面所成的角相等
但两条母线不是平行直线，故B不正确；
对于C，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，
在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，
故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，C不正确；
对于D，以长方体过同一个顶点的三条直线为例，
垂直于同一条直线的两条直线也可能是相交的位置关系，故D不正确
故选：A
已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m∥l，n∥l，则m∥n
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β
③若m∥α，n∥α，则m∥n
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α
其中假命题是（ ）
正确答案
解析
解：①若m∥l，n∥l，则m∥n；此命题正确，由平行公理知，平行于同一条直线的两条直线平行；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；此命题正确，由m∥β可得出β内存在一条直线与m平行，再由m⊥α可得出β内存在一条直线垂直于α，由此知两平面垂直；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系可以是平行，相交，异面中的任何一种情况；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；此命题不正确，因为垂直于同一平面的直线与平面的位置关系可能是平行，也可能是线在面内，故此命题不正确．
综上知，命题③④是假命题，
故选C
（1）PB⊥AD；（2）平面PAB⊥平面PBC；（3）直线BC∥平面PAE；（4）∠PDA=45°．
正确答案
（4）
解析
解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，
∴PB⊥AD不成立，（1）不正确；
又平面PAB⊥平面PAE，
∴平面PAB⊥平面PBC也不成立，（2）不正确；
由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，（3）不正确；
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴（4）正确．
故答案为：（4）．
到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）
正确答案
解析
HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，
同时亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等．
所以排除A、B、C，
故选D．
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱线长为1，面对角线B1D1上有两个动点E，F，且EF=
正确答案
解析
解：
所以BB1⊥AC，结合AC⊥BD，得到AC⊥平面BB1D1D
由于BE⊂平面平面BB1D1D，从而得到AC⊥BE，故①正确；
对于②，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且EF⊂平面A1B1C1D1，结合面面平行的性质可得EF∥平面ABCD，
由此可得②正确；
对于③，正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BB1D1D中，
△BEF的面积S=
又∵点A到平面BEF的距离为
∴三棱锥A-BEF的体积为V=
由此可得③正确；
对于④，平面BB1D1D中作EH∥BF交B1B于H，连结AH，
则∠AEH（或其补角）等于异面直线AE、BF所成的角
随着EF在B1D1上运动，△AEH的形状在不断地改变，从而得到∠AEH的大小不等于定值
因此异面直线AE、BF所成的角不为定值，故④不正确．
综上所述，正确的命题是①②③，共3个
故选：C
△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（ ）
A1
B
C
D1或
正确答案
解析
解：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=
AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=
根据勾股定理逆定理，AB2=BC2+AC2，
（
∠C=90°，sinC=1，
另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=
根据余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC，
（
cosC=
sinC=
故角ACB的正弦值是1或
故选D．
m、n是空间两条不同直线，α、β是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β；
其中真命题的编号是______（写出所有真命题的编号）．
正确答案
①、④
解析
解：①为真命题，因n∥β，α∥β，所以在α内有n与平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；
②为假命题，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，因为m⊥n，则可能n⊂β；
③为假命题，因m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n⊂β且m⊂β；
④为真命题，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因m∥n，则n⊥β
故答案是①、④．
设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
对于B，m⊂α，n⊥α，则n⊥m，∵l⊥n，∴可以选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能，如图所示，故B不正确；
对于C，由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n，故C正确；
对于D，l⊥m，l⊥n，则n、m平行、相交、异面均有可能，故D不正确
故选C．
下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A选项不正确，与同一条直线夹角相等的两条直线，其位置关系可以是相交，平行，异面；
B选项不正确，与同一平面所成的角相等的两条直线，其位置关系可以是相交，平行，异面；
C选项不正确，垂直于同一个平面的两个平面其位置关系可能是平行，相交；
D选项正确，由题设的条件知平面外一条直线垂直于平面的一条垂线，它一定平行于这个平面．
故选D．
设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中：①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β．能推得a⊥b的条件有（ ）组．
正确答案
解析
解：①∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；
②在α内作直线c垂直于α，β的交线，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b∥c，∴a⊥b，故结论成立；
③∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，故结论成立；
④∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，a⊥c，∴a⊥b，故结论成立
故选C．
设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；
③若m∥α，m∥n，则n∥α；
④若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n．
则正确的命题为______．（填写命题的序号）
正确答案
②④
解析
解：对于①，若m∥α，n∥β，α∥β，m，n有可能平行或者异面；
对于②，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，根据线面垂直的性质和面面垂直的性质得到m⊥n；
对于③，若m∥α，m∥n，n有可能在平面α内；
对于④，若α∥β，m⊥α，得到m⊥β，又n∥β，所以m⊥n．
故答案为：②④
设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥n，则m⊥l；
③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m，l⊥α；
④若α⊥β，α⊥γ，则α∥β
其中真命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：①由空间向量知m⊥l，则α⊥β正确；
②由三垂线定理知正确；
③若m是平面α的一条斜线，l⊥α，则l和m不可能垂直，故命题错误；
④正方体从同一个顶点出发的三个平面知命题错误
故选B
直线a是平面α的斜线，过a且和α垂直的平面有（ ）
正确答案
解析
解：过a上点A作平面的垂线b，则确定唯一平面β，
根据平面与平面垂直的性质，可得β⊥α．
故选：B．
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