- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
（1）画出平面α分别与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线；
（2）试对你的画法给出证明．
正确答案
过M点作MF∥AC交PC于F，连接EF，
则平面MNEF为平行于AC的平面α，
则NE，EF，MF分别是平面α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
（2）证明：∵NE∥AC，MF∥AC，
∴NE∥MF，
∴直线NE与MF共面，
∵点N和E，点E和F，点M和F分别是α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的公共点，
∴NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
∵NE∥AC，NE⊂平面MNEF，∴AC∥平面MNEF．
∴平面MNEF为所求的平面．
解析
过M点作MF∥AC交PC于F，连接EF，
则平面MNEF为平行于AC的平面α，
则NE，EF，MF分别是平面α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
（2）证明：∵NE∥AC，MF∥AC，
∴NE∥MF，
∴直线NE与MF共面，
∵点N和E，点E和F，点M和F分别是α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的公共点，
∴NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
∵NE∥AC，NE⊂平面MNEF，∴AC∥平面MNEF．
∴平面MNEF为所求的平面．
如果直线l、m与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则必有（ ）
正确答案
解析
解：由m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，
又∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，
故选B．
正确答案
证明：如图连接PQ，∵长方体中，P、Q分别是BB1、AA1的中点，∴AQ∥BP，AQ=BP，∴PQ∥AB，PQ=AB，∴PQ∥CD∥C1D1，PQ=CD=C1D1，
∴四边形PCDQ，PC1D1Q是平行四边形，
∴PC=DQ，PC1=QD1，
∴∠DQD1=∠CPC1．
解析
证明：如图连接PQ，∵长方体中，P、Q分别是BB1、AA1的中点，∴AQ∥BP，AQ=BP，∴PQ∥AB，PQ=AB，∴PQ∥CD∥C1D1，PQ=CD=C1D1，
∴四边形PCDQ，PC1D1Q是平行四边形，
∴PC=DQ，PC1=QD1，
∴∠DQD1=∠CPC1．
求证：（1）C1、O、M三点共线
（2）E、C、D1、F四点共面
（3）CE、D1F、DA三线共点．
正确答案
证明：（1）∵A1C∩平面BDC1=O，∴O∈A1C，O∈平面BDC1；
又∵A1C⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1；
∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，M∈BD；
又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，
∴M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1；
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1；
∴C1、O、M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线；
（2）∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥BA1，
又∵BC∥A1D1，BC=A1D1，
∴四边形BCD1A1是平行四边形，
∴BA1∥CD1；
∴EF∥CD1，
∴E、F、C、D1四点共面；
（3）∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，
设CE与D1F交于一点P，则：
P∈CE，CE⊂平面ABCD，
∴P∈平面ABCD；
同理，P∈平面ADD1A1，
∴P∈平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，
∴直线CE、D1F、DA三线交于一点P，
即三线共点．
解析
证明：（1）∵A1C∩平面BDC1=O，∴O∈A1C，O∈平面BDC1；
又∵A1C⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1；
∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，M∈BD；
又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，
∴M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1；
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1；
∴C1、O、M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线；
（2）∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥BA1，
又∵BC∥A1D1，BC=A1D1，
∴四边形BCD1A1是平行四边形，
∴BA1∥CD1；
∴EF∥CD1，
∴E、F、C、D1四点共面；
（3）∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，
设CE与D1F交于一点P，则：
P∈CE，CE⊂平面ABCD，
∴P∈平面ABCD；
同理，P∈平面ADD1A1，
∴P∈平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，
∴直线CE、D1F、DA三线交于一点P，
即三线共点．
过正方体的12条棱的每2条作平面可得到几个不同的平面？
正确答案
解：正方体有6个面已经确定，除了与棱相邻的外表面之外，还有一条斜对的棱与此棱平行，即在正方体内可以形成一个平面．以此类推，12条棱在正方体内可形成12个平面．但是他们是两两重叠的，因此内部有6个平面．加上外面的6个，一共12个．
所以从12条棱中任取2条，可以构成的平面总数为：12．
解析
解：正方体有6个面已经确定，除了与棱相邻的外表面之外，还有一条斜对的棱与此棱平行，即在正方体内可以形成一个平面．以此类推，12条棱在正方体内可形成12个平面．但是他们是两两重叠的，因此内部有6个平面．加上外面的6个，一共12个．
所以从12条棱中任取2条，可以构成的平面总数为：12．
已知点P，Q，R分别在三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC上，且PQ与AB交于点D，PR与AC交于点E，RQ与BC交于点F，求证：D，E，F三点共线．
正确答案
证明：由题意，D，E确定直线，且平面PDE∩平面ABC=DE，
∵F∈QR，QR⊂平面PDE，
∴F∈平面PDE，
同理F∈平面ABC，
∴F∈DE，
∴D，E，F三点共线．
解析
证明：由题意，D，E确定直线，且平面PDE∩平面ABC=DE，
∵F∈QR，QR⊂平面PDE，
∴F∈平面PDE，
同理F∈平面ABC，
∴F∈DE，
∴D，E，F三点共线．
已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）
（1）若α∥β，则l⊥m；（2）若α⊥β，则l∥m；（3）若l∥m，则α⊥β；（4）若 l⊥m，则α∥β．
正确答案
解析
解：∵直线l⊥平面α，若α∥β，则直线l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，即（1）正确；
∵直线l⊥平面α，若α⊥β，则l与m可能平行、异面也可能相交，故（2）错误；
∵直线l⊥平面α，若l∥m，则m⊥平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β；故（3）正确；
∵直线l⊥平面α，若 l⊥m，则m∥α或m⊂α，则α与β平行或相交，故（4）错误；
故选B
给出以下三个命题：①垂直于同一条直线的两个平面平行；②与一个平面等距离的两点的直线一定平行于这个平面；③如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，其中正确的命题是______．
正确答案
①
解析
解：根据线面垂直的几何特征，可得垂直于同一条直线的两个平面平行，即①正确；
过与一个平面等距离的两点的直线可能平行于这个平面，也可能相交，故②错误；
如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行或相交，故③错误；
故答案为：①
（1）已知直线a、b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是______．
（2）已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是______．
正确答案
在面内或平行
相交或平行
解析
解：（1）若b⊂α，a⊥α，可证得a⊥b；若b∥α，过b作平面β，α∩β=c，a⊥α，c⊂α，则a⊥c，b∥c，于是a⊥b，
故答案为：在面内或平行；
（2）b、c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，
故答案为：相交或平行．
空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面，则可确定平面的个数为（ ）
正确答案
解析
解：两条平行直线可以确定一个平面，
若第三条直线在该面内，则三条直线确定一个平面；
若第三条直线不在该面内，则它与另外两条直线各确定一个平面，此时确定三个平面
故选C
三个平面可将空间分成n个部分，则n的最小、最大值分别是（ ）
正确答案
解析
解：空间一个平面可以把空间分成两个部分．
故：当三个平面两两平行时，把空间分成四个部分；当三个平面两两相交有三条交线且三条交线交于一点时，把空间分成八个部分．
故选B
下列5个命题：①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③空间四边形的内角和一定是360°；④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；⑤在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不止一条．其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：四边相等的平面四边形是菱形；故①错误；
两组对边相等的平面四边形是平行四边形；故②错误；
空间四边形的内角和不一定是360°；故③错误；
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；这是三角形全等的判定定理，故④正确
在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，有且只有一条，故⑤错误，
总上可知有1个命题是正确的，
故选B．
CD和AD上的点，且
正确答案
因为
所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠AC …（2分）
所以EH，FG共面，且EH与FG不平行，…（3分）
不妨设EH∩FG=P …（4分）
则P∈EH，EH⊂面ABD，
所以P∈面ABD；…（6分）
同理P∈面BCD…（8分）
又因为平面ABD∩平面BCD=BD，所以P∈BD，…（10分）
所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P．…（12分）
解析
因为
所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠AC …（2分）
所以EH，FG共面，且EH与FG不平行，…（3分）
不妨设EH∩FG=P …（4分）
则P∈EH，EH⊂面ABD，
所以P∈面ABD；…（6分）
同理P∈面BCD…（8分）
又因为平面ABD∩平面BCD=BD，所以P∈BD，…（10分）
所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P．…（12分）
在空间，下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
对于A：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直是错误的；如图中过A1的两条直线A1B1和A1D1与直线AA1垂直；故错；
对于B：过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行；这是正确的，如图中，过平面外一点A1，有且只有一个平面A1B1C1D1与已知平面ABCD平行；
对于C：过平面外一点，不是有且只有一条直线与已知平面平行；如图中：过A1的与直线A1B1与A1D1都与平面ABCD平行，故错；
对于D：过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行是不正确的．如图中：过直线AB外一点C1，有两个平面CDD1C1和平面A1B1C1D1与已知直线AB平行，故错；
故选B．
若a，b是异面直线，则下列结论中不正确的为（ ）
正确答案
解析
解：若a，b是异面直线，c为他们的公垂线，
则当c⊥平面α时，平面α与a、b都平行，故A正确；
若平面α与a、b都垂直，则a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故B错误；
过公垂线c上一点做直线d与a、b所成角都相等，则c，d确定的平面与a、b所成角都相等，故C正确；
过公垂线c的中点做与c垂直的平面α，则平面α与a、b的距离都相等，故D正确；
故选B
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