- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
若平面α与平面β相交于直线l，直线m与直线l相交于点P，则直线m与平面α的公共点的个数可能为______．
正确答案
1个或无数个
解析
解：
∴点P是直线m与平面α的一个公共点
因此直线m与平面α的公共点个数至少有点P，即至少有一个
①当直线m在平面α外时，直线m与平面α的公共点的个数为1个；
②当直线m在平面α内时，直线m与平面α的公共点有无数个
故答案为：1个或无数个
若1∩α=A，l与b相交或异面，则b与α的位置关系为______．
正确答案
相交、平行或异面
解析
解：∵1∩α=A，l与b相交或异面，
∴b与α的位置关系为相交、平行或异面．
故答案为：相交、平行或异面．
已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若l∥α，α⊥β，则l可能在β或者l∥β；故A错误；
对于B，若l⊥α，α∥β，得到l⊥β，又m⊂β，则l⊥m；故B 正确；
对于C，若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l与α可能平行、相交或者在α内；故C错误；
对于D，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或者l⊂β；故D错误；
故选：B．
已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面有______个．
正确答案
0或1
解析
解：设过n的平面为β，若m⊥β，则n⊥m，故若m与n不垂直，则不存在过n的平面β与m垂直．
故答案为：0或1．
已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行，如果是交线，则在α内，故A错误；
对于B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂β；故B错误；
对于C，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故C错误；
对于D，若α∥β，m⊥α，利用面面平行的性质以及项目存在的性质可以判断m⊥β；故D正确；
故选D．
正确答案
证明：连结AF，AD1．
∵E，F为DD1，BB1的中点，
∴ED1与BF平行且相等，
∴四边形BED1F为平行四边形，
∴D1F∥BE，
∴D1F∥平面BEC1．
∵四边形ABC1D1为平行四边形，
∴A1D∥BC1，
∴AD1∥平面BEC1．
∵AD1∩D1F=D1，
∴平面AFD1∥平面BEC1．
∵AG⊂平面AFD1，
∴AG∥平面BEC1．
解析
证明：连结AF，AD1．
∵E，F为DD1，BB1的中点，
∴ED1与BF平行且相等，
∴四边形BED1F为平行四边形，
∴D1F∥BE，
∴D1F∥平面BEC1．
∵四边形ABC1D1为平行四边形，
∴A1D∥BC1，
∴AD1∥平面BEC1．
∵AD1∩D1F=D1，
∴平面AFD1∥平面BEC1．
∵AG⊂平面AFD1，
∴AG∥平面BEC1．
设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
正确答案
解析
解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：
m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确
α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确
α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误
α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，
故选B．
已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；
④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；
⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
正确答案
①④
解析
解：①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；
②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；
③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；
④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；
⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．
故答案为：①④．
已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若α⊥β，则l∥m；
③若l∥m，则α⊥β；
④若l⊥m，则α∥β．
其中，正确命题的序号是（ ）
正确答案
解析
解：已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，
对于①，若α∥β，得到直线l⊥平面β，所以l⊥m；故①正确；
对于②，若α⊥β，直线l在β内或者l∥β，则l与m的位置关系不确定；
对于③，若l∥m，则直线m⊥α，由面面垂直的性质定理可得α⊥β；故③正确；
对于④，若l⊥m，则α与β可能相交；故④错误；
故选C．
（2015秋•山西校级期末）已知直线l与平面α所成的角为30°，在平面α内，到直线l的距离为2的点的轨迹是（ ）
正确答案
解析
解：∵平面α内的点P到直线l的距离为2，
∴点P在以直线l为轴，半径为2的圆柱上，
又∵定直线l与平面α成30°角，点P是面α内的一动点，
∴P的轨迹是圆柱被与轴成30°的面α截得的椭圆，
故选：C．
设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么（ ）
正确答案
解析
解：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；
若l⊥m时，α与β可能平行也可能相交，故②为假命题；
故①②都是假命题
故选D
棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵棱柱的所有侧棱所在的直线平行，
∴棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是平行．
故选；A．
已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题 ______（请用代号表示）
正确答案
①②→③
解析
解：∵l∥β
∴平面β中存在一直线m∥l
∵l⊥α，
∴m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β
故答案为：①②→③
已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC，则直线AC与平面MBD之间的位置关系是 ______．
正确答案
垂直
解析
解：如图，设AC于BD交点为O，连接MO，由于ABCD是菱形，所以AC⊥
所以三角形MBD为等腰三角形，O为底边中点，所以AC⊥MO，MO∩BD=O，由线面垂直的性质定理，AC⊥MBD．
故答案为：垂直．
若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a与α的关系为______．
正确答案
a∥α或a⊂α
解析
解：若直线a在平面外，则a∥α；若直线a在平面内，符合条件，
∴a∥α或a⊂α．
故答案为：a∥α或a⊂α．
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