- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
过空间一点与已知平面垂直的直线有（ ）
正确答案
解析
解：过空间一点有且只有一条直线和这个平面垂直，若有两条，根据垂直于同一平面的两条直线平行，矛盾
故选B．
已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
（1）若α∩β=n，m∥n，则m∥α，m∥β；
（2）若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
（3）若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
（4）若m⊥α，n⊂α，则m⊥n．
其中所有真命题的序号是______．
正确答案
（2）（4）
解析
解：（1），由线面平行的判定定理的条件是：直线m在平面外，而本题中没有此条件，假命题；
（2），由线面垂直的性质定理知：垂直于同一直线的两平面平行，真命题；
（3），由线面垂直的判定定理，直线n必须垂直于α内的两条相交直线，本题中没有此条件，假命题；
（4），由线面垂直的定义知：若m⊥α，则m垂直于α内所有直线，而n⊂α，则m⊥n，真命题．
故答案为：（2）（4）
设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的序号是（ ）
①若 m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β；
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
正确答案
解析
解：对于①，由线面平行的性质及线面垂直的定义可知正确；
对于②，α与β可能平行、相交，故②错；
对于③，由α∥β，β∥γ知α∥γ，由m⊥α知m⊥γ，故③正确；
对于④，α与β可能平行、相交，故④错．
故选A．
设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是（ ）
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
正确答案
解析
解：①若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或为异面直线都有可能，因此不正确；
②∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，正确；
③∵n∥α，过直线n作平面β∩α=k，则n∥k．
∵m⊥α，∴m⊥k，则m⊥n，故正确；
④∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故不正确．
综上可知：只有②③正确．
故选B．
设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A．若l∥α，α∩β=m，．则l，m平行或异面，只有l⊂β，才有l∥m．故A错；
B．若l⊥α，l∥β，则由线面平行的性质定理，l⊂γ，γ∩β=m，则l∥m，又l⊥α，故m⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故B正确；
C．若l∥α，m∥α，则由线面平行的性质可得l，m平行、相交、异面，故C错；
D．若l∥α，m⊥l，则m与α平行、相交或在平面内，故D错．
故选B．
已知两条不同的直线m，l，两个不同的平面α，β，在下列条件中，可以得出α⊥β的是______．（填序号）
①m⊥l，l∥α，l∥β； ②m⊥l，α∩β=l，m⊂α；
③m∥l，m⊥α，l⊥β；④m∥l，l⊥β，m⊂α．
正确答案
④
解析
解：对于①；l∥α，l∥β，α与β可以平行，相交；故①不正确．
对于②；α与β可以平行，相交；故②不正确．
对于③；m∥l，m⊥α⇒l⊥α；l⊥β⇒α∥β．故③不正确．
对于④：m∥l，l⊥β⇒m⊥β，m⊂α⇒α⊥β．故④正确．
故答案为：④．
下列命题中，正确的命题是（ ）
正确答案
解析
解：A、C不正确，当点P在平面内时；
B正确，过空间任一点P有且仅有一条与平面α垂直的直线；
故D不正确．
故选B．
已知m，n是不重合的两条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，下列四个命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若m∥α，则m与α内的任意一条直线平行或异面，故A不正确．
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n是异面直线，故B不正确．
若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β，故C正确．
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故D不正确．
故选C．
m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，下列命题为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：A选项不正确，因为m⊥α，n⊥α，只能得出n∥m；
B选项不正确，因为m∥n，n⊂α时，m⊂α也有可能，故m∥α不成立．
C选项不正确，因为α⊥β，m⊂α时，m⊥β不一定成立，有可能是m∥β；
D选项正确，因为m⊥α，m∥β，则α⊥β是面面垂直的判定定理．
故选D．
一条直线与一个平面所成角的取值范围是______．
正确答案
[0，
解析
解：根据直线与平面所成角的定义，可得一条直线与一个平面所成角的取值范围是[0，
故答案为：[0，
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；
④AB与SC所成的角的等于DC与SA所成的角；
其中正确结论的序号是______．（把你认为所有正确结论的序号都写在上）
正确答案
①②③
解析
解：连接SO，如右图：
∵四棱锥S-ABCD的底面为正方形，
∴AC⊥BD、AB=AD=BC=CD、AC=BD，
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC，
∵SD∩BD=D，∴AC⊥平面SBD，
∵SB⊂平面SBD，∴
∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
∴AB∥平面SCD，则②正确；
∵SD⊥底面ABCD，
∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，
∵AD=CD，SD=SD，
∴∠SAD=∠SCD，则③正确；
∵AB∥CD，
∴∠SCD是AB与SC所成的角，∠SAB是DC与SA所成的角，
∵△SDA≌△SDC，∴SA=SC，
∵AB=CD，SB＞SD，
∴∠SCD≠∠SAB，则④不正确，
故答案为：①②③．
设直线m与平面α相交但不垂直，则下列所有正确的命题序号是______．
①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；
②与直线m平行的直线不可能与平面α垂直；
③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；
④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．
正确答案
②
解析
解：对于①，设m与平面α相交于点A，在m上取一点P，作PO⊥α于A点
在α内作直线l与AO垂直，则
∵PO⊥α，l⊆α，∴l⊥PO
∵l⊥AO，PO∩AO=O，∴l⊥平面PAO
∵m⊆平面PAO，∴l⊥m
因为在平面α内与直线l平行的直线，都与m垂直，所以平面α内有无数条直线与直线m垂直，故①不正确；
对于②，因为两条平行线中有一条与已知平面垂直，则另一条也与已知平面垂直，故与平面α的斜线m平行的直线也是平面α的斜线，故②正确；
对于③，将图中的直线l平移到平面α外的直线n，则直线n与m垂直且与平面α平行，故③不正确；
对于④，如图的平面PAO就是与平面α的一个垂直平面，若一个平面β与平面PAO平行，则β与直线m平行且与平面α垂直，
故④不正确．
故答案为：②
已知直线a、b、c和平面M，则a∥b的一个充分条件是（ ）
正确答案
解析
解：a∥M，b∥M⇒a∥b，是假命题；a与b可能异面或相交
a⊥c，b⊥c⇒a∥b，是假命题；a与b可能异面或相交
a，b与平面M成等角⇒a∥b，是假命题，a与b可能异面或相交
a⊥M，b⊥M⇒a∥b，是真命题，可根据垂直与同一平面的两直线平行
故选D
设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列六个命题：
①若1⊥α，m⊥α，则l∥m；
②若l⊥α，m⊂β，l∥m，则α⊥β；
③若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α∥β；
④若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；
⑤若m⊂α，m∥n，则n∥α；
⑥若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：①若1⊥α，m⊥α，根据线面垂直的性质，则l∥m，正确；
②若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，∴α⊥β，正确；
③若l⊥α，m⊂β，l⊥m，则α与β平行或相交，故不正确；
④根据三垂线定理的逆定理，得平面β内的直线m如果垂直于β的斜线l，则m垂直于l在β内的射影，正确；
⑤线面平行的判定定理中要求直线m⊄α，不正确；
⑥若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行、相交，不正确．
故选：B．
已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N=c．
①若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；②若a∥b，则必有a∥c；③若a⊥b，a⊥c则必有M⊥N．
以上的命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：①中若b⊥c，M⊥N时，由面面垂直的性质可得b⊥平面M，所以b⊥a，①错误．
②
③a⊥b，a⊥c，由线面垂直的判定定理可得a⊥M，所以M⊥N，③正确．
故选B
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