- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A不正确，m∥n，m⊂α，由于n可能在α内，故推不出n∥α；
B不正确，m∥α，α∩β=n，m不一定在β内，故不能推出m∥n；
C正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；
D不正确，m⊥β，α⊥β，由于m⊂α的可能性存在，故m∥α不正确．
故选C．
在下列说法中，错误的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α内的一条直线与平面β内的两条相交直线，满足线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理所以α⊥β；故A正确；
对于B，若平面α内任意一条直线平行于平面β，则平面α的两条相交直线平行于平面β，满足面面平行的判定定理，所以α∥β；故B正确；
对于C，若直线m∥平面α，直线n⊥平面β且α⊥β，则m与n位置关系不确定；故m∥n错误；
对于D，若平面α∥平面β，任取直线l⊂α，则l∥β，满足面面平行的性质定理，故D正确；
故选C
已知直线l，α，β是两个不同的平面，以下四个命题：
①若l∥α，l∥β，则α∥β；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l⊥α，l⊥β，则α∥β；
④若l⊥α，α⊥β，则l∥β，
其中正确命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：①若α∩β=m，l∥m，则l∥α，l∥β，故不正确；
②由题意l⊥α，当l∥β时，必存在β内的直线l′，使l∥l′，可得l′⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确；
③若l⊥α，l⊥β，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可得α∥β，正确；
④当l⊥α，且α⊥β时，可能l⊂β，故不能推出l∥β，故不正确；
故选：B．
设a，b是空间两条垂直的直线，且b∥平面α，则在“a∥α”“a⊂α”“a∩α”中，能够出现的情况有（ ）
正确答案
解析
解：因为a，b是空间两条垂直的直线，且b∥平面α，则在“a∥α”“a⊂α”“a∩α”中，能够出现的情况有3种；如图
故选：D．
已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故A正确
若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故B错误
若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以C错误．
若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，则α⊥β，故D错误；
故选：A
已知直线m、n是异面直线，则过直线n且与直线m平行的平面（ ）
正确答案
解析
解：取直线m上任一点A，则点A和直线n确定一个平面记为β，在β内过A点作直线l∥n，
由m∩l=A，则直线m、l确定唯一的平面记为α，
∵l∥n，l⊂α，n⊄α，∴n∥α且直线m、l确定的平面α有且仅有一个．
故答案为 A．
设m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示不同平面，且α⊥β，下列命题：
①存在l⊂α，使得l∥β
②若γ⊥α，则γ∥β
③若m，n与α都成30°角，则m∥n
④若点A∈α，A∈m，α∩β=l，则m⊥l，
则m⊥β其中正确的个数为（ ）
正确答案
解析
解：对于①，因为α⊥β，所以设α∩β=a
则在α内与a平行的直线l必定与β平行，故存在l⊂α，使得l∥β．得①是真命题；
对于②，若α、β、γ是过正方体过同一个顶点的三个面所在平面
则α⊥β，γ⊥α且γ⊥β，没有γ∥β．故②不正确；
对于③，设圆锥的母线与底面成30°角
若α是圆锥的底面圆所在平面，m、n是圆锥的两条母线
则m，n与α都成30°角，但m、n不平行，故③不正确；
对于④，根据点A∈α且A∈m不能判断直线m在平面α内，
因此由α∩β=l，m⊥l不一定能推出m⊥β，从而可得④不正确
综上，其中的真命题只有①
故选：A
给定下列四个命题：
①若一条直线与一个平面平行，那么这条直线平行于这个平面内的任一直线；
②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线；
③若两个平面平行，那么分别在两个平面内的直线平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
其中，为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：①若直线l平行平面α，则l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故①错误；
②如果一条直线垂直于一个平面，那么由直线与平面垂直的性质知：这条直线与这个平面内的任何直线垂直．故②正确；
③若两个平面平行，那么分别在两个平面内的直线平行、异面，故③错误；
④由面面垂直的性质定理知，两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，正确．
故选：D．
已知m，n，p表示不重合的三条直线，α，β，γ表示不重合的三个平面．下列说法正确的是______．（写出所有正确命题的序号）．
①若m⊥p，m∥n，则n⊥p；
②若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，则m⊥γ；
④若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n．
正确答案
①③
解析
解：①若m⊥p，m∥n，则n⊥p，正确；
②若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，m，n相交，则α∥β，不正确；
③因为α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 的交线一定垂直于γ，即m⊥γ，正确；
④若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，不正确．
故答案为：①③．
若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是（ ）
正确答案
解析
解：若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则线面相交
A选项不正确，α内存在直线与m相交；
B选项不正确，α内只有过直线v与面的交点的直线与a相交；
C选项不正确，α内的直线与直线m的位置关系是相交或者异面，不可能平行；
D选项正确，因为α内的直线与直线m的位置关系是相交或者异面，不可能平行．
综上知，D选项正确．
故选：D．
已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若m⊥α，m⊥n，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m⊥n，则n⊥α或者n⊂α；故D错误；
故选C．
设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m⊂β，n是l在m⊥l内的射影，m⊥l，则m⊥l；
③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m且l⊥α；
④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β
其中真命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：对于①若l⊥α，m⊥l，m⊥β，由空间线面垂直的性质定理可知α⊥β正确；
②若m⊂β，n是l在m⊥l内的射影，m⊥l，则m⊥l；由三垂线定理知正确；
③若m是平面α的一条斜线，A∉α，l为过A的一条动直线，则可能有l⊥m且l⊥α；
若m是平面α的一条斜线，l⊥α，则l和m不可能垂直，故命题错误；
④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β错误；如墙角的三个面的关系；
故选：B．
正确答案
解析
∴PQ∥BD，又PQ⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴直线PQ∥平面ABCD，故A正确；
∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，设AC，BD交于O，连VO，
∵在四棱锥V-ABCD中，ABCD为正方形，
侧棱均相等，∴VO⊥平面ABCD，
∴VO⊥AC，由线面垂直的判定定理得，
AC⊥平面PBD，故B正确；
又AC⊂平面VAC，由面面垂直的判定定理得，
平面APQ⊥平面VAC，故C正确；
若平面VAB⊥平面APQ，过V作VH⊥面APQ，
则由面面垂直的性质定理得，VH⊂面VAB，
又平面APQ⊥平面VAC，则VH⊂平面VAC，即VH与VA重合，即有VA⊥面APQ，显然不成立，故D错．
故选：D．
假设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有下面四个条件：
①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF
其中能成为增加条件的是______（把你认为正确的条件序号都填上）
正确答案
①③
解析
解：①因为AC⊥α，且EF⊂α，所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF⊂α，所以EF⊥AB．
因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．
所以①可以成为增加的条件．
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上
因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．
所以EF与CD在β内的射影垂直，
AC与CD在β内的射影在同一条直线上
所以EF⊥AC，
因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成为增加的条件．
④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．
所以④不可以成为增加的条件．
故答案为：①③．
下列四个命题，其中m，n，l为直线，α，β为平面
①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β；
②设l是平面α内任意一条直线，且l∥β⇒α∥β；
③若α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
④若α∥β，m⊂α⇒m∥β．
其中正确的是（ ）
正确答案
解析
①若平面AC是平面α，平面A1C1是平面β，
直线AD是直线m，A1B1是直线n，
显然满足m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但是α与β相交，不正确；
②若平面α内任意一条直线平行于平面β，则平面α的两条相交直线平行于平面β，满足面面平行的判定定理，所以α∥β；故正确
③若平面AC是平面α，平面BC1是平面β，
直线AD是直线m，点E，F分别是AB，CD的中点，则EF∥AD，EF是直线n，
显然满足α∥β，m⊂α，n⊂β，但是m与n异面，不正确；
④由面面平行结合线面平行的定义可得m∥β，正确，
故选：C．
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