- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥n则n∥α；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是（ ）
正确答案
解析
解：对于①，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故①错误；
对于②，若m∥α，m∥n则n可能在α内；故②错误；
对于③，若m⊥α，m∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故③正确；
对于④，若m⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m⊥β；故④正确；
故选A．
给出下面4个命题
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②经过球面上不同的两点只能作球的一个大圆；
③两条异面直线的平行投影可平行；
④过平面外的一条直线，只能作一个平面和这个平面平行；
其中正确的个数为（ ）
正确答案
解析
解：对于①，各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱，因为各相邻侧面并不一定互相垂直．这样的四棱柱就不是正四棱柱，故①错误；
对于②，如果这两点是直径的两个端点，则能做无数个球大圆；故②错误；
对于③，两条异面直线的平行投影可平行；当两条异面直线处在两个平行的平面中且此两平面都与已知平面垂直时，两直线的投影是两条平行线；
对于④，过平面外的一条直线，如果此直线与平面相交时，不可能过此直线作出与已知平面平行的平面，故④错误．
故选A．
已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以A不正确．
对于B，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β，或m⊂β，或m⊄β，所以B不正确．
对于C，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α∩β=l，所以C不正确．
对于D，若m⊥β，m⊂α，则α⊥β，满足平面与平面垂直的判定定理，所以D正确．
故选：D．
下面给出四个命题：
①若平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB=CD；
②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线；
③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面α垂直；
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；
其中正确的命题是（ ）
正确答案
解析
解：①若平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，根据面面平行的性质定理可得AC∥BD，所以AB=CD；所以①正确．
②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则根据空间中线与线的位置关系可得：a，c可能是异面直线也可能是共面直线；所以②错误．
③由线面垂直的定义可得：过空间任一点，有且只有一条直线与已知平面垂直；所以③错误．
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则根据空间中线面的位置关系与直线的有关定理可得PQ⊂α；所以④正确．
故选D．
下列判断，正确的是（ ）
正确答案
解析
解：平行于同一平面的两直线平行，相交、异面，故A不正确；
垂直于同一直线的两直线平行平行，相交、异面，故B不正确；
垂直于同一平面的两平面平行平行，相交，故C不正确；
垂直于同一平面的两直线平行，故D正确；
故选：D．
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若m⊥n，n∥α，则m与α可能平行；故A错误；
对于B，若m∥β，β⊥α则m与α可能平行；故B 错误；
对于C，若m∥n，n⊥α根据线面垂直的性质与线面垂直的判定定理得到m⊥α；故C正确；
对于D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α可能平行环形斜交；故D错误；
故选：C．
满足下列条件，平面α∩平面β=AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：对于选项A和选项C中有直线显然不在平面内
对于选项B，两直线显然不与交线AB平行
故选D
关于直线m、n与平面α、β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m∥α且n⊥β且α⊥β，则m∥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．
其中真命题有（ ）
正确答案
解析
解：命题①中，由m∥α，n∥β且α∥β，能得到m∥n，或m与n 异面，或m与n相交三种可能，故命题①错误；
命题②中，根据∵m∥α且n⊥β且α⊥β，也能得到m∥n，或m与n 异面，或m与n相交三种可能，故命题②错误；
命题③中，若m⊥α，且α∥β，则m⊥β，又因为n∥β，所以m⊥n，故命题③正确；
对于命题④，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，
且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题④正确．
故选B．
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是______．（填写所有正确命题的序号）
①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β；
②l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β⇒α∥β；
③l∥α，m∥β，α∥β⇒l∥m；
④α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β．
正确答案
②
解析
解：对于①，由m⊥α，n⊂β，m⊥n不满足面面垂直的判定定理，所以⇒α⊥β是错误的；
对于②，l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β满足面面平行的判定定理，所以⇒α∥β是正确的；
对于③，l∥α，m∥β，α∥β，由面面平行的性质定理得到l，m可能平行或者异面，所以⇒l∥m是错误的；
对于④，α⊥β，α∩β=m，n⊥m，得到n垂直两个平面的交线，n不一定垂直平面，所以⇒n⊥β是错误的；
故答案为：②．
已知直线m，n与平面α，β，给出下列四个命题？
①若m∥α，n∥α，则m∥n
②若m∥α，n⊥α，则m⊥n
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β，
其中正确命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：若m∥α，n∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面，所以①不正确
若m∥α，由线面平行的性质，能将m平移到α内的m′，由n⊥α知n⊥m′，所以m⊥n成立，故②正确．
若m∥β，由线面平行的性质，能将m平移到β内的m′，结合m⊥α，m∥m′得m′⊥α，
β经过的α垂线，从而α⊥β，故③正确．
对于④，若m，n是异面直线，可以将直线m平移到m′，使相交直线m′、n确定一个平面γ，由m′∥α，n∥α，
可得平面γ∥α，同理可得γ∥β，最后由平行于同一平面的两平面平行，得α∥β，故④正确
综上所述，正确选项有②③④，3个
故选C
已知三条不同直线m，n，l，三个不同平面α，β，γ，有下列命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β；
③若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；④若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n．
其中正确的命题个数是（ ）
正确答案
解析
解：①是课本例题的结论，正确；
②根据面面垂直的性质定理，必须n⊂α，故不正确；
③由α∥β，β⊥γ，根据面面垂直和面面平行的性质定理，正确；
④由n∥β在β内一定找到与n平行的直线，因α∥β，m⊥α，正确．
故选C．
（1）求证：MN∥平面PBD；
（2）求证：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的大小．
正确答案
解：M、N、Q、B的位置如图示．
（1）∵ND∥MB且ND=MB
∴四边形NDBM为平行四边形
∴MN∥DB（3分）
∴BD⊆平面PBD，MN⊄平面PBD
∴MN∥平面PBD（4分）
（2）∵QC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥QC（5分）
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面AQC（6分）
∵AQ⊂面AQC
∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，
∴AQ⊥面PDB（8分）
（3）解：分别取DB、MN中点E、F连接PE、EF、PF（9分）
∵在正方体中，PB=PD
∴PE⊥DB（10分）
∵四边形NDBM为矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF为二面角P-DB-M为平面角（11分）
∵EF⊥平面PMN
∴EF⊥PF
设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中
∵EF=a，PF=
∴tan∠PEF=
∠PEF=arctan
解析
解：M、N、Q、B的位置如图示．
（1）∵ND∥MB且ND=MB
∴四边形NDBM为平行四边形
∴MN∥DB（3分）
∴BD⊆平面PBD，MN⊄平面PBD
∴MN∥平面PBD（4分）
（2）∵QC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥QC（5分）
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面AQC（6分）
∵AQ⊂面AQC
∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，
∴AQ⊥面PDB（8分）
（3）解：分别取DB、MN中点E、F连接PE、EF、PF（9分）
∵在正方体中，PB=PD
∴PE⊥DB（10分）
∵四边形NDBM为矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF为二面角P-DB-M为平面角（11分）
∵EF⊥平面PMN
∴EF⊥PF
设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中
∵EF=a，PF=
∴tan∠PEF=
∠PEF=arctan
已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是（ ）
正确答案
解析
解：已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，
则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，
这时三条中位线都平行于平面α；
也可能一个点A在平面一侧，
另两点B、C在平面另一侧，
则存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，
所以选D．
若a、b表示两条不同直线，α、β表示两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵过a作平面β交平面α于直线c，∵a∥α，∴a∥c，又∵b⊥α，c⊂α，∴b⊥c，∴a⊥b，故A正确；
∵a∥α，b∥α，a、b的位置关系不确定，∴B错误；
∵a∥α，b⊂α，a、b有可能异面，∴C错误；
∵α⊥β，a⊂α，a与β的位置关系不确定，∴D错误．
故选A
已知α，β，γ是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列4个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
③若m⊥α，α⊥β，则m∥β；
④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．
则其中真命题的个数为______ 个．
正确答案
1
解析
解：对于①，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β的有可能相交，故①错误；
对于②，若α⊥β，β⊥γ，则α，γ有可能平行，故②错误；
对于③，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或者m⊂β；故③错误；
对于④，若m⊥α，n⊥α，则m∥n正确；
故答案为：1．
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