- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
正确答案
解析
对于B，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B成立；
对于C，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故不成立．
对于D，AB∥l⇒AB∥β，D成立；
故选C．
已知平面α、β、γ，直线l、m，且l⊥m，α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④β⊥α．则其中正确的个数是（ ）
正确答案
解析
①∵α⊥γ，
设直线n⊂α，且n⊥γ
∴n⊥l 又∵m⊥l，且m，n相交
∴l垂直于mn所在平面，即l⊥α
又∵l⊂β∴α⊥β，
∴②④正确，
若β倾斜同样可以满足题中要求，因此①③错误．
故选C．
若直线a，b没有公共点，则下列命题：
①存在于a，b平行的直线；
②存在与a，b垂直的平面；
③存在经过a而与b垂直的平面；
④存在经过a而与b平行的平面，
其中正确的命题序号是______．
正确答案
②④
解析
解：对于①，如果直线a，b异面，就不存在于a，b平行的直线；故①错误；
对于②，无论直线a，b平行还是异面，都存在与a，b垂直的平面；②正确；
对于③，如果直线a，b平行，不存在经过a而与b垂直的平面；故③错误；
对于④，当直线a，b平行或者异面时，存在经过a而与b平行的平面；故④正确；
故答案为：②④．
若l，n是两条互不相同的空间直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是______（填所有正确答案的序号）．
①若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n；
②若l⊥α，n∥α，则l⊥n；
③若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
④若l⊥α，l∥β，则α⊥β．
正确答案
②④
解析
解：对于①，l除平行n外，还有异面的位置关系，则①不正确．
对于②，若l⊥α，n∥α，则过n的平面与α交于b，则n∥b，l⊥b，所以l⊥n；所以②正确；
对于③，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或者l⊂α；所以③错误．
对于④，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，④正确．
故答案为：②④．
已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，则下列四个命题正确的个数为（ ）
①若α∥β，则l⊥m； ②若l∥m，则l∥β；
③若α⊥β，则l∥m； ④若l⊥m，则l⊥β．
正确答案
解析
解：若α∥β，则l⊥β，又由m⊂β，故l⊥m，故①正确；
若l∥m，m⊂β，则l∥β或l⊂β，故②错误；
若α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故③错误；
若l⊥m，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．
故四个命题中正确的命题有1个，
故选A
下列说法中正确的是______．
①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
正确答案
①②④
解析
解：对于①，若直线l与平面α平行，经过l作平面β
设α、β的交线为m，根据线面平行性质定理，可得l∥m
因为这样的平面β有无数个，所以满足条件的m也有无数条，故①正确；
对于②，根据直线与平面平行的定义，可得直线与平面没有公共点
因此平面内任意一条直线都与已知直线没有公共点，故②正确；
对于③，若点A为直线l外一点，则过A作直线m使m∥l
这样的直线m有且只有一条，
但经过m的平面α如果满足l⊄α，则有l∥α，
α为经过点A与l平行的平面，这样的平面有无数多个，故③不正确；
对于④，如果直线l和平面α平行，在α内取一点A，过A作直线m，使m∥l，
经过l与点A的平面β，β∩α=m‘，则m'∥l，可得经过点A有两条直线与直线l平行
与平行公理矛盾，得过平面α内一点和直线l平行的直线在α内
故④正确
故答案为：①②④
已知：α∩β=b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：经过直线a作平面γ，
设γ∩α=c，则由线面平行性质定理，可得a∥c
因为a∥β，所以c∥β
∵c∥β，α∩β=b，c⊂α
∴c∥b，因此可得a∥b
即a与b的位置关系是a∥b
故选：A
（1）求证：直线SA∥平面BDE；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值；
（3）求直线BD和平面SBC所成角的正弦值．
正确答案
∵S-ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
∵E是侧棱SC的中点，∴SA∥OE，
又OE⊂平面BDE，SA⊄平面BDE，
∴直线SA∥平面BDE．（4分）
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠SAD=60°为异面直线SA和BC所成的角，△SAD是等边三角形．
根据正棱锥的性质得，△SCD、△SAB、△SBC也是等边三角形．
连接SO，取SB中点F，连接AF、OF，
∵O是正方形ABCD的中心，根据正棱锥的性质得，SO⊥平面ABCD，
∴AO⊥SO，又AO⊥BD，∴AO⊥平面SBD．
∵SB⊥AF，根据三垂线定理的逆定理，得OF⊥SB，
∴∠AFO是二面角A-SB-D的平面角．AOF中，OF=
∴二面角A-SB-D的余弦值是
（3）解：∵E是侧棱SC的中点，∴BE⊥SC，DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE，
∴平面SBC⊥平面BDE，过D作平面SBC的垂线，垂足在交线BE上，
即BE为BD在平面SBC上的射影，∴∠DBE为直线BD和平面SBC所成的角，
∵OE=
∴sin∠DBE=sin∠OBE=
∴线BD和平面SBC所成的角的正弦值为
解析
∵S-ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
∵E是侧棱SC的中点，∴SA∥OE，
又OE⊂平面BDE，SA⊄平面BDE，
∴直线SA∥平面BDE．（4分）
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠SAD=60°为异面直线SA和BC所成的角，△SAD是等边三角形．
根据正棱锥的性质得，△SCD、△SAB、△SBC也是等边三角形．
连接SO，取SB中点F，连接AF、OF，
∵O是正方形ABCD的中心，根据正棱锥的性质得，SO⊥平面ABCD，
∴AO⊥SO，又AO⊥BD，∴AO⊥平面SBD．
∵SB⊥AF，根据三垂线定理的逆定理，得OF⊥SB，
∴∠AFO是二面角A-SB-D的平面角．AOF中，OF=
∴二面角A-SB-D的余弦值是
（3）解：∵E是侧棱SC的中点，∴BE⊥SC，DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE，
∴平面SBC⊥平面BDE，过D作平面SBC的垂线，垂足在交线BE上，
即BE为BD在平面SBC上的射影，∴∠DBE为直线BD和平面SBC所成的角，
∵OE=
∴sin∠DBE=sin∠OBE=
∴线BD和平面SBC所成的角的正弦值为
已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，作直线AC⊥l，现给出下列四个判断：（1）AC与l相交，（2）AC⊥α，（3）AC⊥β，（4）AC∥β．则可能成立的个数为（ ）
正确答案
解析
解：如图
在直线l上取点C，连接AC，则AC与l相交；（1）成立；
A在平面α内，所以过A可以做一条直线AC与α垂直；此时AC∥β，故（2）（4）正确；
过A作AC⊥l，垂足为C，因为Aα与β相交l，所以AC⊥β；故（3）成立；
故选：D．
已知平面α，β和直线a，b，若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，且平面与平面β不垂直，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则（ ）
正确答案
解析
解：因为平面与平面β不垂直，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，
所以①当a∥l；b∥l时，a∥b；②当a与b在α内的射影垂直时a与b垂直．
故选：B．
给出下列四个命题：
①过平面外一点作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一一个平面与这两条异面直线都平行；
④对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等．
其中正确的命题的序号是 ______．（请把所有正确命题的序号都填上）
正确答案
②④
解析
解：①考虑圆锥的母线与地面所成角，将其顶点看为底面所在平面外一点，不正确；θ=90°不正确．
②，由线面平行的性质定理和判定定理可以证明，此直线与交线平行，正确；
③，如果此点选在其中一条异面直线上，则此平面不存在，错误；
④可以考虑：两异面直线与同一个平面所成角可以相等，而与此平面平行的平面有无穷多个，故正确．
故答案为：②④
已知直线l，m和平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故A错误；
对于B，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者异面；故B错误；
对于C，若α⊥β，l∥α，则l与β位置关系不确定；故C错误；
对于D，若l⊥α，m⊂α，满足线面垂直的性质定理故l⊥m；故D正确；
故选D．
①AS⊥平面SEF；②AD⊥平 面SEF； ③SF⊥平面AEF； ④EF⊥平面SAD；
⑤SD⊥平面AEF； ⑥AS⊥EF．其中正确的是______．（填上所有正确结论的序号）
正确答案
①④⑥
解析
由已知知AS⊥SE，AS⊥SF，SE⊥SF，SE=SF，AD⊥EF
∴AS⊥平面SEF，①正确，②错误；
SF⊥平面ASE，③错误；
由AS⊥平面SEF得AS⊥EF，又AD⊥EF，所以
EF⊥平面ASD，④正确，⑤错误；⑥显然正确．
故答案为：①④⑥．
下列命题正确的是（ ）
①平面内α的两条相交直线分别平行于平面β内的两条相交直线，则平面α平行于平面β；
②两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；
③若平面α平行于平面β，平面β平行于平面r，则平面α平行于平面r；
④若α⊥r，β⊥r则α∥β；
⑤α⊥β，β⊥r则α⊥r．
正确答案
解析
解：①平面内α的两条相交直线分别平行于平面β内的两条相交直线，则平面α平行于平面β，根据面面平行的判定定理可知正确；
②两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行，不正确，如三棱柱的两个侧面；
③若平面α平行于平面β，平面β平行于平面r，则平面α平行于平面r，根据面面平行的性质可知正确；
④若α⊥r，β⊥r则α∥β，不正确，如正方体过同一顶点的三个平面；
⑤α⊥β，β⊥r则α⊥r．不正确，α与r可能平行；
故选C
若直线a∥平面α，直线b⊥直线a，则直线b与平面α的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：如图，
当b=B1C1时，满足直线a⊥b，且a∥平面α，此时直线b与平面α平行；
当b=AA1时，满足直线a⊥b，且a∥平面α，此时直线b与平面α相交；
当b=AD时，满足直线a⊥b，且a∥平面α，此时直线b⊂平面α．
∴直线b与平面α的位置关系是平行、相交或直线b⊂平面α．
故选：D．
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