- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α，β的四个命题：
（1）m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；
（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
（3）若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β；
（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m
其中真命题是 ______（填序号）
正确答案
（1）、（2）、（3）
解析
解：（1）m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面，根据异面直线定义可知正确；
（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α，根据线面垂直的判定定理可知正确；
（3）若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β，根据面面平行的判定定理可知正确；
（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m平行、相交、异面，故不正确；
故答案为：（1）、（2）、（3）
已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：
（1）a∥α，b∥β，则a∥b；
（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；
（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；
（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；
其中正确命题是______．
正确答案
（2）
解析
解：对于（1），a∥α，b∥β，则a∥b，α、β位置关系不确定，a、b的位置关系不能确定；
对于（2），由垂直于同一平面的两直线平行，知结论正确；
对于（3），a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；
对于（4），a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α．
故答案为：（2）
直线a在平面α外，是指直线a和平面α______或______．
正确答案
平行
相交
解析
解：直线与平面的位置关系：
①由公共点的个数可分为，没有公共点，为平行；1个公共点，为相交；2个公共点，为在平面内．
②按是否共面分为，在平面内；在平面外，为平行或相交．
故答案为：平行 相交
设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即：l______m且l______m⇒m______α．
正确答案
∥
⊥
⊥
解析
解：在α内作两条相交直线b，c；
∵l⊥α，∴l⊥b，l⊥c
∵l∥m，∴m⊥b，m⊥c
∴m⊥α
故答案为：∥，⊥，⊥
（2015秋•临海市校级月考）平行于同一个平面的两条直线，它们的空间位置关系为（ ）
正确答案
解析
解：如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M、N分别为棱AA1、BB1的中点，
则MN、A1B1、B1C1都与底面ABCD平行，而A1B1∥MN，A1B1∩B1C1=B1，MN与B1C1为异面直线．
故满足条件的两条直线可以平行、相交、异面三种物质关系皆有可能．
故选D．
设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；
B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；
C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；
故选C．
（2016•宿州一模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，
又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β或α与β相交，故C错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．
故选：B．
已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则以下命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若m∥n，n⊂α，则m可能在α内；故A错误；
对于B，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故B错误；
对于C，若m∥α，n∥α，则m与n的位置关系可能为相交、平行或者异面；故C错误；
对于D，若m∥α，m⊂β，α∩β=n，根据线面平行的性质定理可以得到m∥n；故D正确；
故选D．
正确答案
解：如图，作AG⊥α于点G，BH⊥α于点H
连接A1G、B1H、GH，
∵A1A⊥AB，
∴A1G⊥GH．
同理，B1H⊥GH．
作B1C⊥A1G于点C，则B1C=GH=AB=2，∠AA1G=30°，∠BB1H=60°．
设B1H=x，则CG=B1H=x，AG=BH=
所以x=
当A1、B1分居平面AH两侧时，类似可得AG=BH=
故求AB与平面α的距离为3或
解析
解：如图，作AG⊥α于点G，BH⊥α于点H
连接A1G、B1H、GH，
∵A1A⊥AB，
∴A1G⊥GH．
同理，B1H⊥GH．
作B1C⊥A1G于点C，则B1C=GH=AB=2，∠AA1G=30°，∠BB1H=60°．
设B1H=x，则CG=B1H=x，AG=BH=
所以x=
当A1、B1分居平面AH两侧时，类似可得AG=BH=
故求AB与平面α的距离为3或
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A1B1C．
正确答案
在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN||BC1．
又∵MN⊄平面BCC1B1，∴MN||平面BCC1B1．
（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1-xyz．
则B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）
∴
设平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z）．
令z=1，则x=0，y=-1，∴n=（0，-1，1）．
∴
解析
在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN||BC1．
又∵MN⊄平面BCC1B1，∴MN||平面BCC1B1．
（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1-xyz．
则B1（0，0，0），C（0，2，2），A1（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）
∴
设平面A1B1C的法向量为n=（x，y，z）．
令z=1，则x=0，y=-1，∴n=（0，-1，1）．
∴
已知在三棱锥S-ABC中，P、Q分别是△SAC和△SAB的重心，试判断BC与平面APQ的位置关系并加以证明．
正确答案
∵△SAC中，P为的重心，
∴点P在△SAC中线SM上，且满足SP=
同理可得：△SAB中，点Q在中线SN上，且满足SQ=
∴GPQ∥MN
∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC
因此可得PQ∥BC，
∵BC⊄平面APQ，PQ⊂平面APQ，
∴BC∥平面APQ．
解析
∵△SAC中，P为的重心，
∴点P在△SAC中线SM上，且满足SP=
同理可得：△SAB中，点Q在中线SN上，且满足SQ=
∴GPQ∥MN
∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC
因此可得PQ∥BC，
∵BC⊄平面APQ，PQ⊂平面APQ，
∴BC∥平面APQ．
已知两条直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：①如图1，当b⊂α时，∵a⊥α，∴a⊥b，满足已知条件；
②如图2，当b⊄α时，b∥α．下面给出证明：
设a∩α=M，过直线a上除去点M以外的任意一点P作b′∥b，
∵a⊥b，∴a⊥b′．
过点M与b′作平面β，设β∩α=l，
∵a⊥α，∴a⊥l，
∴b′∥l．
∴b∥l，
∵b⊄α，∴b∥α．
综上可知：b⊂α或b∥α．
故选D．
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：选项A，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m⊥n，m⊥α，n∥β⇒α⊥β；
选项B，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n，该命题不正确，m∥α，n∥β，α∥β⇒m与n没有公共点，则也可能异面；
选项C，根据m⊥α，α∥β，则m⊥β，而n∥β则m⊥n，则该命题正确；
选项D，若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β，该命题不正确，m∥n，m∥α，n∥β，⇒α与β平行或相交
故选C
在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（ ）
正确答案
解析
∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），
∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足
同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足
因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足
∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，
∴点Q1与Q2重合于同一点
由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α-l-β的平面角
∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直
故选：A
A
B2
C
D
正确答案
解析
解：由题意，
∴
∴|
故选：D．
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