- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，
B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，
C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，
D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．
故选C．
设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，有下列四个命题：
（1）若l⊥a，m⊂a，则l⊥m；
（2）若l⊥a，l∥m，则m⊥a；
（3）若l∥a，m⊂a，则l∥m；
（4）若l∥a，m∥a，则l∥m
则其中命题正确的是______．
正确答案
（1），（2）
解析
解：∵l⊥α，m⊂a，∴l⊥m，故（1）正确；
若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故（2）正确；
若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行也可能垂直，故（3）错误；
若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故（4）错误；
故答案为：（1），（2）．
正确答案
矩形
解析
顺次连接AB、BD、DC、CA，可得四边形ABDC是矩形，证明如下
∵正方形IJKL中，A、B分别是KL、JI的中点
∴AB∥KJ
∵AB⊈平面FGKJ，KJ⊂平面FGKJ，∴AB∥平面FGKJ，
∵AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面FGKJ=DC，∴AB∥DC
又∵平面EFJI∥平面GKLH，平面ABDC∩平面EFJI=BD，平面ABDC∩平面GKLH=AC
∴AC∥BD，可得四边形ABDC是平行四边形
∵AB∥KJ，KJ⊥平面EFJI，∴AB⊥平面EFJI，
∵BD⊂平面EFJI，
∴AB⊥BD，得四边形ABDC是矩形．即所求截痕的形状是矩形．
故答案为：矩形
已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：由α、β是平面，m、n是直线，
在A中，此命题正确．因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直；
在B中，此命题正确．因为由平面垂直的判定定理知如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
在C中，此命题正确．因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；
在D中，此命题不正确．因为若m∥α，α∩β=n，则m∥n或m，n异面．
故选D．
已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行；
②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直；
③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；
④若α⊥β，则β内的任何直线都与α垂直．
则其中______是真命题．
正确答案
②、③
解析
解：若a∥α，则α内的无数直线都与a平行，但不是任意一条，即①不正确；
若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直，即②正确；
若α∥β，则β内的任何直线都与α平行，即③正确；
若α⊥β，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是任意一条，即④不正确．
综上可得②、③为真．
故答案为：②、③
若a，b为异面直线，直线c，d与a，b分别都相交，则a，b，c，d可确定的平面的个数为（ ）
正确答案
解析
解：当c，b与a交于同一点时，c，d是相交直线，且都与d相交，则b，c，d确定一个平面，
a与c确定一个平面，a与d确定一个平面，共确定3个平面．
当c，d与b交于同一点时，和前面情况类似，共确定3个平面．
当c，d既不与a交于同一点，也不与b交于同一点，则c，d为异面直线
∴a与c确定一个平面，a与d确定一个平面，b与c确定一个平面，b与d确定一个平面，共确定4个平面
故选D
下列说法正确的有______（请将你认为正确的结论的序号都填上）．
①三点确定一个平面；
②四边形一定是平面图形；
③梯形一定是平面图形；
④平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点．
正确答案
③
解析
解：对于①，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故①不正确；
对于②，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故②不正确；
对于③，由于梯形的上下底所在直线是平行直线，能确定平面α，再由平面基本性质的公理1，
可得梯形的两腰也在平面α内，故③正确；
对于④，如果平面α和平面β有三个公共点，且这三个点不同在一条直线上，则平面α和平面β重合，
因此两个相交的平面α、β不管有多少公共点，这些点一定在同一直线上，故④不正确．
故答案为：③
空间三条直线a，b，c中，b和c是一对异面直线，取三条直线中某两条直线确定平面，那么可以确定平面个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵b和c是一对异面直线
若a与b，c均相交，则可以确定两个平面；
若a与b，c中一条平行与另一条相交，则可以确定两个平面；
若a与b，c中一条平行与另一条异面，则可以确定一个平面；
若a与b，c中一条相交与另一条异面，则可以确定一个平面；
若a与b，c均异面，则可以确定零个平面；
故选D
（1）求证：A′B′C′D′是平行四边形；
（2）在怎样的条件下，A′B′C′D′也是矩形？并证明你的结论．
正确答案
解：（1）证明：∵BB′⊥α，CC′⊥α，
∴BB′∥CC′，CC′⊂平面CC′D′D
∴BB′∥平面CC′D′D，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD⊂平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D，
∴AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D，
∵α∩平面ABB′A′=A′B′，α∩平面CC′D′D=C′D′∴A′B′∥C′D′，
同理B′C′∥A′D′，因此，A′B′C′D′是平行四边形．
（2）设AB=m，BC=n，AA′=a，BB′=b，CC′=c．
不妨设a＞b＞c，在直角梯形BB′C′C中，B′C′2=a2-（b-c）2，
同样地，A′B′‘2=m2-（b-c）2A′C′2=m2+n2-（a-c）2，
当A′B′C′D′是矩形时，∠A′B′C′=90°，A′C′2=A′B′2+B′C′2
于是m2+n2-（a-c）2=m2-（a-b）2+n2-（b-c）2，（a-b）（b-c）=0，∴a=b或b=c
当a=b时，ABB′A′是矩形，AB∥A′B′，∴AB∥α；
同理当b=c时，∴BC∥α，下面再证AB∥α或BC∥α，射影A′B′C′D′是矩形．
当AB∥α时，ABB′A′是矩形，∴A′B′⊥BB′，A′B′∥AB，AB⊥BC，∴A′B′⊥BC，
于是A′B′⊥平面BB′C′C，因此A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形，因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，
射影A′B′C′D′是矩形，A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形．
因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，射影A′B′C′D′是矩形．
解析
解：（1）证明：∵BB′⊥α，CC′⊥α，
∴BB′∥CC′，CC′⊂平面CC′D′D
∴BB′∥平面CC′D′D，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD⊂平面CC′D′D，
∴AB∥平面CC′D′D，
∴AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线
∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D，
∵α∩平面ABB′A′=A′B′，α∩平面CC′D′D=C′D′∴A′B′∥C′D′，
同理B′C′∥A′D′，因此，A′B′C′D′是平行四边形．
（2）设AB=m，BC=n，AA′=a，BB′=b，CC′=c．
不妨设a＞b＞c，在直角梯形BB′C′C中，B′C′2=a2-（b-c）2，
同样地，A′B′‘2=m2-（b-c）2A′C′2=m2+n2-（a-c）2，
当A′B′C′D′是矩形时，∠A′B′C′=90°，A′C′2=A′B′2+B′C′2
于是m2+n2-（a-c）2=m2-（a-b）2+n2-（b-c）2，（a-b）（b-c）=0，∴a=b或b=c
当a=b时，ABB′A′是矩形，AB∥A′B′，∴AB∥α；
同理当b=c时，∴BC∥α，下面再证AB∥α或BC∥α，射影A′B′C′D′是矩形．
当AB∥α时，ABB′A′是矩形，∴A′B′⊥BB′，A′B′∥AB，AB⊥BC，∴A′B′⊥BC，
于是A′B′⊥平面BB′C′C，因此A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形，因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，
射影A′B′C′D′是矩形，A′B′⊥B′C′，
∴A′B′C′D′是矩形．
因此当矩形ABCD的一边平行于平面α或在α内时，射影A′B′C′D′是矩形．
给出下列四个命题：
①已知集合A⊆{1，2，3，4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有12个；
②任意的三角形ABC中，有cos2A＜cos2B的充要条件是A＞B；
③平面上n个圆最多将平面分成2n2-4n+4个部分；
④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角；
其中真命题的序号是______（要求写出所有真命题的序号）．
正确答案
①集合A⊆{1，2，3，4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有24-（1+2+1）=12个；
②cos2A＜cos2B⇔1-2sin2A＜1-2sin2B⇔sin2A＞sin2B⇔sinA＞sinB⇔A＞B；
③平面上n个圆最多将平面分成的部分是，当n=1，2时等式成立；当n=3时，3个圆把平面最多分成8部分，等式不成立；
④空间中直角在一个平面上的正投影不可以是钝角．
故填①②．
判断下列命题是否正确，
（1）梯形可以确定一个平面．
（2）圆心和圆上两点可以确定一个平面；
（3）已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
（4）两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线；
（5）α、β是平面，且直线a⊂α，直线b⊂β，则a，b是异面直线，其中正确的命题是______．
正确答案
（1）因为梯形有一组对边平行，故可以确定一个平面，故正确；
（2）若圆心和圆上两点共线，则不可以确定一个平面，故不正确；
（3）根据平行线的传递性，可知正确；
（4）两条直线a，b没有公共点时，两条直线也可以平行，故不正确；
（5）α、β是平面，且直线a⊂α，直线b⊂β，则a，b是异面直线或平行，或交于一点，故不正确
故正确的命题是（1）（3）
故答案为：（1）（3）
已知为α，β平面，a，b为直线，给出下列四个命题：
①若α∥β，b⊥β则b⊥α②若α∥β，a⊂α，b⊂β则b∥a
③若α∥β，a⊂α则a∥β④若α∥β，a∥α则a∥β
其中所有错误命题的序号为______．
正确答案
①若α∥β，b⊥β则b⊥α，此命题正确，垂直于两个平行平面中的一个，必垂直于 另一个；
②若α∥β，a⊂α，b⊂β则b∥a，此命题不正确，两个平面平行两个平面中的两条直线可以是异面；
③若α∥β，a⊂α则a∥β，此命题正确，两个平面平行，一个平面中的直线一定平行于另一个平面；
④若α∥β，a∥α则a∥β，此命题不正确，两个平面平行，平行于其中一个平面的直线可能在另一个平面内．
综上，错误命题的序号为②④
故答案为②④
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中，正确命题的序号是______．
①若l⊥平面α，m⊥平面α，则l∥m；
②若l⊥平面α，m⊂平面α，则l⊥m；
③若l∥平面α，l∥m，则m∥平面α；
④若l∥平面α，m∥平面α，则l∥m．
正确答案
∵根据线面垂直的性质知l⊥平面α，m⊥平面α，则l∥m；故①正确，
根据线面垂直的定义知若l⊥平面α，m⊂平面α，则l⊥m，故②正确
若l∥平面α，l∥m，则m∥平面α或m⊂α，故③不正确．
若l∥平面α，m∥平面α，则l与m有平行，相交和异面的关系，故④不正确，
故答案为：①②
给出下列四个命题：
①设x1，x2∈R，则x1＞1且x2＞1的充要条件是x1+x2＞2且x1x2＞1；
②任意的锐角三角形ABC中，有sinA＞cosB成立；
③平面上n个圆最多将平面分成2n2-4n+4个部分；
④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．
其中真命题的序号是______（要求写出所有真命题的序号）．
正确答案
若x1＞1且x2＞1，则x1+x2＞2且x1x2＞1成立，但x1+x2＞2且x1x2＞1时，x1＞1且x2＞1不一定成立，故x1＞1且x2＞1的必要不充分条件是x1+x2＞2且x1x2＞1，故①错误；
在锐角三角形中A+B＞
平面上n个圆最多将平面分成n2-n+2部分，故③错误；
间中直角在一个平面上的正投影可以是锐角，也可能是直角，也可以是钝角，故④正确；
故答案为：②④
已知在m、n、l1、l2表示直线，α、β表示平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2=M，则α∥β的一个充分条件是______．
正确答案
∵m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2=M，
m∥l1且n∥l2，
∴l1∥α，且l2∥α，
∴α∥β．
即m∥l1且n∥l2⇒α∥β，
∴α∥β的一个充分条件是m∥l1且n∥l2．
故答案为：m∥l1且n∥l2．
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