- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则 a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是______．
正确答案
若a⊥b，b⊥c，则 a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故①错误；
若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故②错误；
若a和b相交，b和c相交，则a和c可能平行，可能相交，也可能异面，故③错误；
若a和b共面，b和c共面，则a和c可能共面，也可能异面．
故答案为：0
设α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实①l⊥α，②l∥β，③α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是______．（要求写出所有真命题）
正确答案
∵α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，
①l⊥α，②l∥β，③α⊥β，
∴以①②作为条件，③作为结论，得到命题：
以①③作为条件，②作为结论，得到命题：
以②③作为条件，①作为结论，得到命题：
故答案为：①②⇒③，①③⇒②．
给出下列命题：
①如果向量
②已知直线a的方向向量
③若P、M、A、B共面，则存在唯一实数x、y使
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
正确答案
①不妨令
②若
③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y使
④∵三点A、B、C不共线，
∴
即
故答案为：④
给出以下五个结论：
（1）函数f(x)=
（2）若关于x的方程x-
（3）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，当a＞0且a≠1，b＞0时，
（4）若将函数f(x)=sin(2x-
（5）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，若m⊥α，n∥β且m⊥n，则α⊥β；其中正确的结论是：______．
正确答案
函数f(x)=
若关于x的方程x-
点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，则2a-3b+1＜0，当a＞0且a≠1，b＞0时，
若将函数f(x)=sin(2x-
若m⊥α，m⊥n，则n∥α，或n⊂α，又由n∥β，此时α与β可能平行也可能相交，故（5）错误
故答案为：（3）、（4）
定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有______个．
正确答案
如图所示：
①过点P作平面α∥平面ABC．则△ABC的三个顶点到α的距离相等；
②分别取线段AB、BC、CA的中点，则三个平面PFD、PDE、PEF皆满足题意．
综上可知：满足题意的平面α共有4个．
故答案为4．
a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定平面的个数为 ______个．
正确答案
解析：a上任一点与直线b确定一平面，共五个，
b上任一点与直线a确定一平面，共四个，
一共九个．
故答案为：9
若空间三个平面两两相交，则交线的条数是______．
正确答案
当三个平面交于一条直线时，交线的条数是1，
当三个平面两两相交，交线不重合时，有3条交线，
总上可知空间中三个平面两两相交交线的条数是1或3，
故答案为：1或3．
给出以下三个命题：①垂直于同一条直线的两个平面平行；②与一个平面等距离的两点的直线一定平行于这个平面；③如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，其中正确的命题是______．
正确答案
根据线面垂直的几何特征，可得垂直于同一条直线的两个平面平行，即①正确；
过与一个平面等距离的两点的直线可能平行于这个平面，也可能相交，故②错误；
如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行或相交，故③错误；
故答案为：①
设a，b，c为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列四个命题中的真命题是______（写出所有真命题的序号）
①．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a⊥c
③若a⊂α，b、c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β ④若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β
正确答案
①中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交，故①为假命题；
②若a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行也可能相交也可能异面，故②为假命题；
③若a⊂α，b、c⊂β，a⊥b，a⊥c，若b与c相交，则α⊥β，故③为假命题；
④若a⊥α，a∥b，则b⊥α，又由b⊂β，则α⊥β，故④为真命题
故答案为：④
设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a⊥b的条件是______．（填序号）
①a⊂α，b∥β，α⊥β； ②a⊥α，b⊥β，α⊥β； ③a⊂α，b⊥β，α∥β； ④a⊥α，b∥β，α∥β．
正确答案
①a⊂α，b∥β，α⊥β⇒a与b相交、平行或异面，故①不能推得a⊥b；
②a⊥α，b⊥β，α⊥β⇒a⊥b，故②能推得a⊥b；
③a⊂α，b⊥β，α∥β⇒b⊥α⇒a⊥b，故③能推得a⊥b；
④a⊥α，b∥β，α∥β⇒a⊥b，故④能推得a⊥b．
故答案为：②③④．
给出下列命题，其中正确的命题是______ （填序号）．
①若平面α上的直线m与平面β上的直线n为异面直线，直线l是α与β的交线，那么l至多与m，n中的一条相交；
②若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；
③一定存在平面γ同时与异面直线m，n都平行．
正确答案
①是错误的，因为l可以与m，n都相交；
②是错误的，因为m与l可以异面、相交或平行；
③是正确的，因为只要将两异面直线平移成相交直线，两相交直线确定一个平面，此平面就是所求的平面．
故答案为：③
不共面的四点可以确定平面的个数是______．
正确答案
不共面的四点是指任意三个点都不在同一条直线上，
这样从四点任取三个点都可以确定一个平面，
∴一共可以确定C43=4个平面，
故答案为：4
已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面a、b，有下列命题
①若l∥a，m∥b，且a∥b，则l∥m
②若l⊥a，m⊥b，且l∥m，则a∥b
③若m⊂a，n⊂a，m∥b，n∥b，则a∥b
④若a⊥b，a∩b=m，n⊂b，n⊥m，则n⊥a
其中真命题的个数是______．
正确答案
对于①，若l∥a，m∥b，且a∥b，则l∥m或l与m相交或l与m异面．①不正确；
对于②，若l⊥a，l∥m，则m⊥a，∵m⊥b，∴a∥b，故成立；
对于③，m⊂a，n⊂a，m∥b，n∥b，若m∥n，则结论不成立；
对于④，若a⊥b，a∩b=m，n⊂b，n⊥m，根据面面垂直的性质定理，可知n⊥a，故正确．
综上所述，正确命题的个数为2，
故答案为：2．
下列说法不正确的是______．
①．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
②．同一平面的两条垂线一定共面；
③．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
④．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直．
正确答案
①一组对边平行，则此四边形为平面四边形，由平行四边形的判定定理可知正确．
②同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个，所以共面． 正确．
③过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，这些直线在一个平面上，这个平面是过此点的直线的垂面．正确．
④当一条直线与已知平面垂直时，过这条直线的所有平面都与已知平面垂直，此时不唯一，故错误．
故答案为：④
下列四个命题中：①过空间一点可以作无数条直线平行于已知平面；②△ABC中，AB∥面α，延长CA、CB分别交α于E、F两点，则AB∥EF；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．正确的命题的序号______．
正确答案
①当空间的一点在已知平面内时，过空间一点不能作直线平行于已知平面；故错；
②△ABC中，AB∥面α，延长CA、CB分别交α于E、F两点，根据直线与平面平行的性质定理得：AB∥EF；故正确；
③垂直于同一条直线的两条直线不一定互相平行，如图中正方体中的A1B1和AD都垂直于AA1，但它们异面，故错；
④若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，根据三垂线定理知，它也和这条斜线垂直，其正确．
正确的命题的序号 ②④．
故答案为：②④
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