- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
关于直线a，b，c，以及平面α，β，给出下列命题：
（1）若a∥α，b∥β，则a∥b；（2）若a∥α，b⊥α，则a⊥b；
（3）若a∥b，b∥α，则a∥α；（4）若a⊥α，a∥β，则α⊥β．
其中正确命题的序号为______（填上你认为正确的所有序号）．
正确答案
（2）（4）
解析
解：（1）若a∥α，b∥β，则a∥b，此命题不正确，因为与两个不同平面平行的两条直线的位置关系可以是相交平行异面；
（2）若a∥α，b⊥α，则a⊥b，一条直线垂直于一个平面，必垂直于与这个平面平行的直线，此命题正确；
（3）若a∥b，b∥α，则a∥α，此命题不正确，在此条件下，a可能在α内；
（4）若a⊥α，a∥β，则α⊥β，此命题正确，因为a∥β，故在β内存在与a平行的直线，由a⊥α知，此直线也垂直于α，故可得α⊥β．
综上，正确合理的序号是（2）（4）
故答案为（2）（4）
设a，b是异面直线，a⊂平面α，则过b与α平行的平面（ ）
正确答案
解析
解：因为a，b是异面直线，a⊂平面α，过b与α平行的平面如图：图（1）时α∥β；
图（2）时α与β相交，不平行．
所以可能不存在也可能有1个．
故选C．
设α，β，γ是三个不重合的平面，m、n是两条不同的直线．给出下列命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
③若α⊥β，m⊥β，则m∥α；
④若n⊥α，n∥β，则α⊥β．
其中正确命题的个数是 （ ）
正确答案
解析
解：①若α⊥β，m∥α，则m与β平行或相交，不正确；
②因为n⊥β，且m⊥n，可得出m∥β或 m⊂β，又m⊥α故可得α⊥β，正确；
③若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，不正确；
④若n⊥α，n∥β，利用平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，正确．
故选：B．
（2015秋•永年县期末）直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：过a作平面β交平面α于直线c，
∵a∥α，∴a∥c，
又∵b⊥α，c⊂α，
∴b⊥c，∴a⊥b．
故选：B．
设有如下三个命题：
甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；
乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；
丙：平面α与平面β相交．
当甲成立时（ ）
正确答案
解析
解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立
故选C．
设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；
若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；
若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；
若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交（此时交线与m，n均平行），故D错误；
故选：B
“a，b为异面直线”是指：
①a∩b=ϕ，且a与b不平行；
②a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b=ϕ；
③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β=ϕ；
④a⊂平面α，b⊄平面α；
⑤不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立．
上述结论中，正确的是（ ）
正确答案
解析
解：根据异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可知
①a∩b=ϕ，且a与b不平行，正确；
②a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b=ϕ，此时a，b可以平行；
③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β=ϕ，此时a，b可以平行；
④a⊂平面α，b⊄平面α，此时a，b可以平行；
⑤不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立，正确．
故选：B．
下列命题错误的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，已知直线a∥b，且b∥c，利用平行线的传递性得到a∥c；故A 正确；
对于B，已知直线a∥平面α，且直线b∥平面α，则a，b的位置关系可能为平行、相交或者异面；故B 错误；
对于C，已知直线a∥平面α，过平面α内一点作b∥a，关键线面平行的性质得到b⊂α；故C正确；
对于D，过平面外一点可以做无数条直线与这个平面平行，并且这些直线都在同一平面内；根据面面平行的性质判断为正确．
故选B．
（2015春•南昌校级月考）已知直线a，b，平面α、β、γ，则下列条件中能推出α∥β的是（ ）
正确答案
解析
B，a⊥γ，b⊥γ，a⊂α，b⊂β，则这两个平面可能相交也可能平行，故不正确；
C，在平面α内作两条相交直线m、n，
∵直线a⊥平面α，及直线与平面垂直的定义，∴a⊥m、a⊥n，
又∵a∥b，∴b⊥m、b⊥n，
又∵m⊂α、n⊂α，m、n相交，∴b⊥α，
又∵b⊥β，∴α∥β，正确；
D，a⊂α，b⊂β，a∥α，b∥β，则这两个平面可能相交也可能平行，故不正确．
故选：C．
已知a∥面α，b∥面α，则直线a，b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交；其中可能成立的有（ ）
正确答案
解析
取E、F分别为B1B、C1C的中点，则矩形BB1C1C中，EF∥BC
∵EF⊄平面α，BC⊂平面α，∴EF∥平面α
∵平面A1B1C1D1∥平面α，A1B1、B1C1、C1D1、D1A1、A1C1都是平面A1B1C1D1内的直线
∴A1B1、B1C1、C1D1、D1A1、A1C1都与平面α平行．
对于①，取直线A1B1为直线a、C1D1为直线b，它们是都与α平行的平行直线，故①可能成立；
对于②，取直线A1B1为直线a、EF为直线b，它们是都与α平行的直线，
因为EF∥BC，BC⊥AB，AB∥A1B1，所以EF⊥A1B1，由此得到a、b垂直不相交，故②可能成立；
对于③，取直线A1B1为直线a、B1C1为直线b，它们是都与α平行的直线，且它们垂直相交，故③可能成立；
对于④，根据③的结论即可得到④可能成立；
对于⑤，取直线A1C1为直线a、EF为直线b，它们是都与α平行的直线，且不垂直且不相交，故⑤可能成立
因此，5种情况都有可能成立
故选：D
给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确的命题是______（只填序号）．
正确答案
（2）（4）
解析
解：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行，不正确，两者可能相交；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，此是一个正确命题，两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件，不正确，因为两面垂直，一个面中的线与另一个面的关系是平行、相交，在另一个面内都有可能；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心，此命题正确，由三侧棱在底面上的投影相等，符合外心的定义；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行，不一定正确，这样的平面当垂直于一线的平面恰好过另一线时，则不成立．
故答案为：（2）（4）
给定下列四个命题：
①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
④平行于同一平面的两条直线相互平行．
其中为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，
这是面面垂直的判定定理，故①正确
若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，
这里缺少了相交的条件，故②不正确，
若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；③正确
平行于同一平面的两条直线相互平行或异面或相交，故④不正确，
总上可知①③正确，
故选B．
正确答案
解析
解：
∵BB1⊥面ABCD，∴DB1⊥AC，
连接A1D，则A1D⊥AD1，
∵A1B1⊥面ADD1A1，∴DB1⊥AD1，
∴DB1⊥平面ACD1，故A正确；
∵BC1∥AD1，BC1⊄面ACD1，AD1⊂ACD1，
∴BC1∥平面ACD1，故B正确；
∵DB1⊥平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，
∴DB1⊥AD1，
∵BC1∥AD1，
∴BC1⊥DB1，故C正确；
∵BC1∥平面ACD1，P为线段BC1上的动点，
∴三棱锥P-ACD1的体积为定值，与P点位置无关，故D错误．
故选D．
平面α的一条斜线l与平面α交于点P，Q是l上一定点，过点Q的动直线m与l垂直，那么m与平面α交点的轨迹是（ ）
正确答案
解析
解：满足过点Q与l垂直的动直线m的轨迹为过点Q与m垂直的平面β，
显然两平面α与β的相交于一条直线
故选A
已知直线l1，l2与平面α．则下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若l1⊂α，l2∩α=A，则当l1不经过点A时，l1、l2为异面直线
但是条件不缺少“l1不经过点A”这一条，故不能得到l1、l2为异面直线，故A不正确；
对于B，若l1∥l2，l1∥α且l2⊄α，则l2∥α
但是条件不缺少“l2⊄α”这一条，故不能得到l2∥α，得B不正确；
对于C，若l1⊥l2，l1⊥α且l2⊄α，则l2∥α
但是条件不缺少“l2⊄α”这一条，故不能得到l2∥α，故C不正确；
对于D，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，
故由l1⊥α，l2⊥α，l1∥l2，得D正确
故选：D
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