- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若m∥n，n⊂α，
则m∥α，或m⊂α，或A不正确；
若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，
则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；
若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；
若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，
则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．
故选：D．
已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证a∥α
正确答案
设a∩α=P，
若点P∈b上，则a∩b=P与a∥b矛盾．
若点P∉b上，则a与b是异面直线，这与a∥b相矛盾．
于是假设错误，故原命题正确．
即a∥α
解析
设a∩α=P，
若点P∈b上，则a∩b=P与a∥b矛盾．
若点P∉b上，则a与b是异面直线，这与a∥b相矛盾．
于是假设错误，故原命题正确．
即a∥α
已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误；
对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；
对于C，根据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；
对于D，α，β有可能相交．
故选C．
（1）证明四边形ABED是正方形；
（2）判断点B，C，F，G是否四点共面，并说明为什么？
（3）连接CF，BG，BD，求证：CF⊥平面BDG．
正确答案
同理AD∥BE，
则四边形ABED是平行四边形．
又AD⊥DE，AD=DE，
∴四边形ABED是正方形
（2）取DG中点P，连接PA，PF．
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．
又AB∥DE且AB=DE，∴AB∥PF且AB=PF
∴四边形ABFP为平行四边形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，
∴B，C，F，G四点共面
（3）同（1）中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．
且有AC∥DG、EF∥DG，从而AC∥EF，
∴EF⊥AD，BE∥AD
又BE=AD=2、EF=1故
故四边形BFGC为菱形，CF⊥BG
又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．
正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．
解析
同理AD∥BE，
则四边形ABED是平行四边形．
又AD⊥DE，AD=DE，
∴四边形ABED是正方形
（2）取DG中点P，连接PA，PF．
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．
又AB∥DE且AB=DE，∴AB∥PF且AB=PF
∴四边形ABFP为平行四边形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，
∴B，C，F，G四点共面
（3）同（1）中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．
且有AC∥DG、EF∥DG，从而AC∥EF，
∴EF⊥AD，BE∥AD
又BE=AD=2、EF=1故
故四边形BFGC为菱形，CF⊥BG
又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．
正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．
给出如下四个命题：
①对于任意一条直线a，平面α内必有无数条直线与a垂直；
②若α、β是两个不重合的平面，l、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l⊥α，m⊥β，且l∥m；
③已知a、b、c、d是四条不重合的直线，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，则“a∥b”与“c∥d”不可能都不成立；
④已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线．
则命题P的逆否命题是假命题上命题中，正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：①对，当a⊂α或a∥α时，α内必有无数条直线与a垂直；
当a∩α=A时，若a⊥α时满足题意；
当a与α斜交时，a在α内的射影与α内的直线垂直，则a与该直线垂直，
α内必有无数条直线与a垂直；
②对，充分性成立，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又∵m⊥β，∴α∥β，
必要性不成立，α∥β，推不出l和m关系；
③对，c∥d时，满足条件；c与d相交时确定一个平面α，则a⊥α，b⊥α，故有a∥b；
当c与d异面时，可c过上一点作出e与d平行，则c、e确定平面β，a⊥β，b⊥β，有a∥b；
④对，用反证法证明，得出与条件矛盾；
故选D．
已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，试判断直线a与平面β的位置关系．
正确答案
∵a∥α，∴a∥a′．
∵a⊥AB，
∴a′⊥AB．
∵a′⊂α，α⊥β，
∴a′⊥β．
∴a⊥β，即a与β的位置关系是a⊥β．
解析
∵a∥α，∴a∥a′．
∵a⊥AB，
∴a′⊥AB．
∵a′⊂α，α⊥β，
∴a′⊥β．
∴a⊥β，即a与β的位置关系是a⊥β．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AA1=a，当a为何值时，PC∥平面AB1D．
正确答案
解：（Ⅰ）证明：因为
因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，所以BC⊥面CC1D1D，而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，所以BC⊥PD．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）
（Ⅱ）当a=2时，PC∥平面AB1D．（9分）
当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以∠C1DC=45°，而∠PDC=45°，所以∠PDC1=900，所以C1D⊥PD．（12分）
而PC⊥PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC∥C1D．（13分）
而C1D⊂面AB1C1D，所以PC∥面AB1C1D，所以PC∥平面AB1D．（14分）
解析
解：（Ⅰ）证明：因为
因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，所以BC⊥面CC1D1D，而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，所以BC⊥PD．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）
（Ⅱ）当a=2时，PC∥平面AB1D．（9分）
当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以∠C1DC=45°，而∠PDC=45°，所以∠PDC1=900，所以C1D⊥PD．（12分）
而PC⊥PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC∥C1D．（13分）
而C1D⊂面AB1C1D，所以PC∥面AB1C1D，所以PC∥平面AB1D．（14分）
已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
A、若平面AC是平面α，平面BC1是平面β，
直线AD是直线m，点E，F分别是AB，CD的中点，则EF∥AD，EF是直线n，
显然满足α∥β，m⊂α，n⊂β，但是m与n异面；
B、若平面AC是平面α，平面A1C1是平面β，
直线AD是直线m，A1B1是直线n，
显然满足m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但是α与β相交；
C、若平面AC是平面α，直线AD是直线n，AA1是直线m，
显然满足m⊥α，m⊥n，但是n∈α；
故选D．
已知a，b是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β．下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，α∩β=l，a∥b∥l，且a⊄β，满足条件，故不正确；
对于B，若α∥β，则a，b没有公共点，不正确；
对于C，利用线面平行的判定，可知正确；
对于D，根据线面平行的性质定理，可知不正确．
故选：C．
已知直线m，n与平面α、β，给出下列命题，其中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n可以相交、平行或异面直线，故不正确；
B．若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可以平行、相交或异面直线，故不正确；
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n，利用线面平行于垂直的性质即可判断出，正确．
D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n∥β或n⊂β或相交．
综上可知：只有C正确．
故选C．
（2015•余杭区模拟）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）
正确答案
解析
解：若m⊥α，m∥n，n∥β，
则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；
若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；
若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．
故选：D．
若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若m⊂β，α⊥β，m与α有可能平行、斜交或者垂直；故A错误；
对于B，若α∥β，m⊂α，n⊂β则m与n平行或者异面；故B错误；
对于C，若m⊥β，m∥α，根据线面平行的性质可以在β内找到一条直线n与m平行，则n⊥α，由面面垂直想判定定理可以得到α⊥β；故C正确；
对于D，若m∥n，n⊂α，则m与α平行或者异面；故D错误；
故选C．
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n‘与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；
对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；
对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；
对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选：A．
已知m，l是直线，α，β是平面，则下列命题中正确命题的个数是
①若l⊥α，m∥α，则l⊥m； ②若m∥l，m⊂α，则l∥α；
③若α⊥β，m⊂α，l⊂β，则m⊥l； ④若m⊥l，m⊂α，l⊂β，则α⊥β（ ）
正确答案
解析
解：①若l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确，由线面平行的定义知α存在一线与m平行，而此线与l垂直，故可以得出l⊥m；
②若m∥l，m⊂α，则l∥α，不正确，因为l可能在α内；
③若α⊥β，m⊂α，l⊂β，则m⊥l，不正确，因为两面垂直，两面内的线的位置关系可以是相交、平行、异面；
④若m⊥l，m⊂α，l⊂β，则α⊥β，不正确，因为一个面内的一条线与另一个面内的一条线垂直不能保证两平面平行．
故选A．
在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（ ）
正确答案
解析
所以CD⊥平面ABG，所以CD⊥AB，故A正确；
正四面体ABCD中，A在平面BCD的射影为O，则O在BG上，并且O为△BCD的中心，则直线AB与平面BCD成的角为∠ABO，又BO=
正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF∥平面ACD；故C正确；
因为几何体为正四面体，所以A在底面BCD的射影为底面的中心，所以AO⊥平面BCD，AO⊂平面AFD，所以平面AFD⊥平面BCD；故D正确；
故选：B．
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