- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
在空间中，α，β表示平面，m表示直线，已知α∩β=l，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，α∩β=l，m∥l，则m与α，β可能都平行，也可能在其中一个平面内；故A错误；
对于B，α∩β=l，若m与α，β都平行，根据线面平行的性质可以判断m∥l；故B 正确；
对于C，α∩β=l，若m与l异面，则m与α，β可能都相交，也可能与其中一个平面平行，与另一个平面相交；故C错误；
对于D，α∩β=l，若m与α，β都相交，则m与l异面或者相交；故D错误；
故选B．
（2015春•凉山州期末）已知α，β是平面，a，b是直线，则下列命题中不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、若a∥b，a⊥α，根据线面垂直的性质，可得b⊥α，正确；
B、∵a不一定在平面β内，∴a，b有可能是异面直线，故不正确；
C、若a⊥α，a⊥β，∵垂直于同一直线的两平面平行，∴α∥β，显然正确；
D、a⊥α，a⊂β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，正确．
故选：B．
已知a，b是相交直线，a∥平面α，则b与平面α的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：如图所示：
①如图1，若a、b确定的平面β∥α，
则b∥α；
②如图2，若a所在的平面β∥α，但是b∩β=P，则b必与α相交；
③如图3，若b⊂α，a∩b=P，则点P也必在α内，这与a∥α矛盾．
综上可知：b与平面α的位置关系是相交或平行，但是b不可能在α内．
因此答案是C．
故选C．
设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A错误；
若γ⊥α且γ⊥β，则α与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与γ垂直），故B错误；
若a∥α且a∥β，则与β可能平行也可能相交（此时两平面的交线与a平行），故C错误；
若γ∥α且γ∥β，则α∥β，故D正确；
故选：D
对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是______（填序号）．
①若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
②若m∥α，n∥α，则m∥n；
③若m⊂α，n∥α，则m∥n；
④若m、n与α所成的角相等，则m∥n．
正确答案
③
解析
解：①若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，不正确；
②若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交，不正确；
③若m⊂α，n∥α，利用直线与平面平行的性质定理，可得m∥n，正确；
④m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交也可能异面，不正确．
故答案为：③．
（2015秋•临海市校级月考）设 m、n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：线面平行的判定定理中要求直线m⊄α，所以A错误；
m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，所以错误；
根据线面垂直的判定定理，可知C不正确；
根据线面垂直的性质定理可知选项D正确．
故选：D．
一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M、G分别是AB、DF的中点．
（1）求证：CM⊥平面FDM；
（2）在线段AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明；
（3）求直线DM与平面ABEF所成的角．
正确答案
解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a
（1）显然FD⊥平面ABCD，
又CM⊂平面ABCD，
∴FD⊥CM（2分）
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，
M为AB中点，
∴CM⊥DM
∵FD⊂平面FDM，DM⊂平面FDM，
∴CM⊥平面FDM，（4分）
（2）点P在A点处，（5分）
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，
而GA⊂面GSA，∴GP∥平面FMC（9分）
（3）在平面ADF上，过D作AF的垂线．
垂足为H，连DM，
则DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM与平面ABEF所成的角（12分）
在
∴
∴
所以DM与平面ABEF所成的角为
解析
解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a
（1）显然FD⊥平面ABCD，
又CM⊂平面ABCD，
∴FD⊥CM（2分）
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，
M为AB中点，
∴CM⊥DM
∵FD⊂平面FDM，DM⊂平面FDM，
∴CM⊥平面FDM，（4分）
（2）点P在A点处，（5分）
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，
而GA⊂面GSA，∴GP∥平面FMC（9分）
（3）在平面ADF上，过D作AF的垂线．
垂足为H，连DM，
则DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM与平面ABEF所成的角（12分）
在
∴
∴
所以DM与平面ABEF所成的角为
设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，α∥β，m⊂α，n⊂β，m，n是平面γ分别与α，β的交线时，m∥n，故不正确；
对于B，α⊥β，n⊥β，不可以得出m⊂α，故不正确；
对于C，面面垂直，两平面中的线，平行、相交、异面都有可能，故不正确；
对于D，因为α∥β，m⊥β，所以m⊥α，因为n⊥α，所以m∥n，故正确．
故选：D．
两条直线a、b满足a∥b，b⊊α，则a与平面α的关系是______．
正确答案
a∥α或a⊂α
解析
解：由于a∥b，b⊊α，则a与平面α的关系可以是：a∥α，a⊂α．
故答案为：a∥α，a⊂α．
若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：由题意，a，b，α可能的位置关系如下图所示，由图知，A，B，C中的三种位置关系都是可能的，D正确
故选D
如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，上述判断正确的是______．
正确答案
②③④
解析
解：①由直线l⊥平面α，直线m⊥l，可得m∥α或m⊂α，因此①不正确；
②∵直线l⊥平面α，m⊥α，∴m∥l．正确；
③由直线l⊥平面α，m∥α，可得m⊥l，正确；
④由直线l⊥平面α，m∥l，可得m⊥α，正确．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为：②③④．
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）EF⊥平面ABC．
证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以BC⊥CD，
又AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC；
（2）存在λ=
∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥CD
在直角△ABD中，∠ADB=60°，∴AB=BDtan60°=
当BE⊥AC时，
∴
即λ=
∵BE⊥CD，AC∩CD=C
∴BE⊥平面ACD
∵BE⊂平面BEF
∴平面BEF⊥平面ACD
∴存在λ=
解析
解：（1）EF⊥平面ABC．
证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以BC⊥CD，
又AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC；
（2）存在λ=
∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥CD
在直角△ABD中，∠ADB=60°，∴AB=BDtan60°=
当BE⊥AC时，
∴
即λ=
∵BE⊥CD，AC∩CD=C
∴BE⊥平面ACD
∵BE⊂平面BEF
∴平面BEF⊥平面ACD
∴存在λ=
若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若α∥β，l⊂α，n⊂β，
则l与n平行、相交或异面，故A不正确；
若α⊥β，l⊂α，则l∥β或l与β相交，故B不正确；
若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；
若l⊥α，l∥β，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．
故选：D．
直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（ ）
正确答案
解析
解：取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，
由a∩c=A，则直线a、c确定唯一的平面记为α，
∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α有且仅有一个．
故选A．
下列命题中，错误的是（ ）
正确答案
解析
反证法：假设a∥α或a⊂α内，
则由α∥β可知，
a∥β或a⊂β，
与a∩β=A相矛盾，
故假设不成立；
选项B：平行于同一平面的两条直线不一定平行，正确，例如正方体中的A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，但它们相交；选项C：如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面，正确，
是线面垂直判定定理的逆否命题；
选项D：若直线l不平行于平面α，则α内不存在与l平行的直线，不正确，
直线l不平行于平面α，则直线l可能在平面α内，
很容易作出直线与直线l平行．
故选D．
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