- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
（2015秋•天水校级期末）已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（ ）
正确答案
解析
解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的关系是（ ）
正确答案
解析
解：若AB∥CD，易得EF与α、β均平行
若AB与CD相交，则EF与α、β均平行
若AB与CD异面，则
设过AB和EF的平面交α，β分别于直线AG和BH，如下图所示：
且使G，F，H在一直线上．
因为平面α∥β，所以AG∥CH，连接CG和DH，则CGFDH在一个平面内，且
CG∥DH，F为CD中点，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH，
因为AG∥CH，又E，F分别为AB，CD中点，且A，C，H，G在一个平面内，所以
EF∥AG∥CH，CH在平面β内，故EF∥β．
同理EF∥β
故选A
设有两条直线m、n和两个平面α、β，下列四个命题中，正确的是______．
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；
④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α．
正确答案
④
解析
解：对于①，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可能是相交、平行或异面，
故由“m∥α，n∥α”，不一定得到“m∥n”，得①是假命题；
对于②，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，且m∩n=O”，则“α∥β”成立，
但条件中缺少了“m∩n=O”，故结论“α∥β”不一定成立，得②是假命题；
对于③，若“α⊥β，m⊂α，且m垂直于α、β的交线”，则“m⊥β”成立，
但条件中缺少了“m垂直于α、β的交线”，故结论“m⊥β”不一定成立，得③是假命题；
对于④，因为α⊥β，m⊥β，所以“平面α∥直线m”或“m⊂α”
而条件中有“m⊄α”，故必定有“m∥α”成立，得④是真命题．
故答案为：④
已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个结论：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥n，m⊥β，则n∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
其中正确结论的序号是______．
正确答案
④
解析
解：对于①，若m⊂α，n∥α，则m与n平行或者异面，故①错误；
对于②，若m⊥n，m⊥β，则n∥β或者n⊂β；故②错误；
对于③，若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，或者m⊂α且m∥β，或者m⊂β且m∥α；故③错误；
对于④，若m⊥α，m⊥β，利用线面垂直的性质以及面面平行的判定得到α∥β；故④正确；
故答案为：④
设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A选项正确，因为由m⊥α，n∥α，可得出m⊥n；
B选项不正确，因为在“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，”条件中缺少线线相交，故不满足面面平行的判定定理，不能得α∥β；
C选项不正确，因为当“m∥α，n∥α”时两线m，n的位置关系可以是相交，平行，异面故不正确；
D选项不正确，因为当“α⊥γ，β⊥γ”，两平面α与β的关系可以是平行或者相交．
综上知A选项正确
故选A
已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：
①若α∥β，l⊂α，则l∥β；
②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；
③若l∥α，m⊂α，则l∥m；
④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．
其中，真命题有（ ）
正确答案
解析
解：①若α∥β，l⊂α，则l∥β 是真命题，由α∥β，l⊂α知l与β没有公共点，由定义即；
②若α∥β，l⊥α，则l⊥β是真命题，因为两平行平面中的一个垂直于一条直线，另一个也必垂直于这条直线；
③若l∥α，m⊂α，则l∥m 是假命题，因为l∥α，m⊂α 两直线的关系可以是平行，也可以是异面；
④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β，是假命题，由面面垂直的性质定理知只有当m⊂α时，结论者正确的，题设条件不能保证这一点．
综上①②正确，③④错误
故选 C．
设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；
②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；
③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；
④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β；
⑤若α∥β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α．
上面命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）．
正确答案
②⑤
解析
解：①若“α⊥β，m⊂β，且m垂直于α、β的交线”，则“m⊥α”成立，条件中缺少了“m垂直于α、β的交线”，故结论“m⊥α”不一定成立，得①是假命题；
②若m∥α，m⊥β，则α⊥β，因为m∥α根据线面平行的性质在α内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故是真命题；
③α⊥β，α⊥γ，则β、γ相交、平行，故是假命题；
④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β或α、β相交，故是假命题；
⑤若α∥β，P∈α，PQ∥β，由面面平行的性质定理PQ⊂α，故是真命题．
故答案为：②⑤．
若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A中过公共点的直线与直线l相交，不异面，A错误；
B、C中l⊂α内时，α内有无数多条直线与l平行，B、C错误．
直线l与平面α不平行，则直线l与α相交或在面内，即l与α有一个或无穷多个公共点，D正确．
故选D
若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵平面α∥平面β，l⊂α，
∴根据平面与平面平行的性质，可得l∥β，
故选：B．
设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，下列四个命题中所有正确命题的序号是______．
①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．
③若m∥α，n∥α，则m∥n．
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β．
正确答案
①④
解析
解：①若m⊥α，n⊂α，利用线面垂直的性质，可得m⊥n，正确；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；两条相交直线才行，不正确．
③m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，不正确．
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则由面面垂直的性质定理我们易得到n⊥β，正确．
故答案为：①④．
已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中真命题的序号有______． （请将真命题的序号都填上）
正确答案
②③
解析
解：①不正确，m与n可能相交或异面；②正确，根据线面垂直的性质定理；
③正确，因m∥α，则在α内有与m平行的直线，又因n⊥α，则m⊥n；
④不正确，可能n⊂α；
故答案为：②③．
如果一条直线l和平面α内的一条直线平行，那么直线l和平面α的关系是______．
正确答案
平行或在面内
解析
解：∵直线l∥直线m
当l⊄平面α时，
由线面平行的判定定理可得l∥平面α
直线l也可在平面α内
故直线l和平面α的关系是平行或在面内
故答案为：平行或在面内
求证：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．
正确答案
求证：直线l和平面α相交．
证明：由已知直线l和α有公共点A，
∴直线l不平行于平面α．
∴假设直线l和α不相交，则lα．
∵B∈l，∴B∈α与已知B∉α矛盾．
∴直线l和平面α相交．
解析
求证：直线l和平面α相交．
证明：由已知直线l和α有公共点A，
∴直线l不平行于平面α．
∴假设直线l和α不相交，则lα．
∵B∈l，∴B∈α与已知B∉α矛盾．
∴直线l和平面α相交．
a、b是不互相垂直的异面直线，α、β是分别过a、b的平面，则下列四种情况：
①α∥β；②α⊥β；③a∥β；④a⊥β，
其中可能出现的有（ ）
正确答案
解析
解：①可能，过a上一点作与b平行的直线确定的平面α，则b∥α，过b上一点作与a平行的直线确定的平面β，则a∥β，由面面平行的定义知；
②可能，面面垂直的性质定理，当α⊥β可以找到两条直线异面，故②可能；
③可能，过a上一点作与b平行的直线确定的平面β，则a∥β；
④不可能，如果a⊥β，由面面垂直的性质可得a⊥b，与a与b不垂直矛盾；
故选C．
已知m、n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个互不重合的平面，则下列命题正确的（ ）
正确答案
解析
解：A．若α⊥γ，β⊥γ，则α、β相交或平行，若α∥β，又m⊥α，则m⊥β，若α、β相交，则m⊥β不成立，故A错；
B．若α⊥β，β∥γ，则α⊥γ，又m⊥α，则m∥γ或m⊂γ，故B错；
C．若 α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n或m，n相交或异面，故C错；
D．若α∥β，n⊥β，则n⊥α，又m∥α，则过m的平面交α于c，则m∥c，又n⊥c，故m⊥n，故D正确．
故选D．
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