- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
设α,β,γ表示是三个不同的平面,a、b、c表示是三条不同的直线,给出下列五个命题:
(1)若a∥α,b∥β,a∥b,则α∥β;
(2)若a∥α,b∥α,β∩α=c,a⊂β,b⊂β,则a∥b;
(3)若a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α;
(4)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α⊥β;
(5)若a、b在平面α内的射影互相垂直,则a⊥b.
其中正确命题的序号是______.
正确答案
若a∥α,b∥β,a∥b,则α与β平行或相交,故(1)不正确;
若a∥α,b∥α,β∩α=c,a⊂β,b⊂β,则a∥b,故(2)正确;
若a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,当b,c相交时,a⊥α,故(3)不正确;
若α⊥γ,β⊥γ,则α与β平行或相交,故(4)不正确;
若a、b在平面α内的射影互相垂直,则a与b相交或异面,故(5)不正确.
故答案为:(2).
已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则下列四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β
其中正确命题的序号是______.
正确答案
直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,
当α∥β有l⊥m,故①正确
当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交,故②不正确
当l∥m有α⊥β,故③正确,
当l⊥m有α∥β或α∩β,故④不正确,
综上可知①③正确,
故答案为:①③
对于直线m,n,和平面α,β,γ,有如下四个命题:
(1)若m∥α,m⊥n,,则n⊥α
(2)若m⊥α,m⊥n,则n∥α
(3)若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ
(4)若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β
其中正确命题的序号是______.
正确答案
由直线m,n,平面α,β,γ,知:
若m∥α,m⊥n,,则n与α相交、平行或n⊂α,故(1)不正确;
若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故(2)平正确;
若α⊥β,γ⊥β,则α与γ相交或平行,故(3)不正确;
∵m⊥α,m∥n,
∴n⊥α,
∵n⊂β,
∴α⊥β,故(4)正确.
故答案为:(4).
已知直线l,m平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题
①若α∥β则l⊥m;
②若l⊥m则α∥β;
③若α⊥β,则l∥m;
④若l∥m则α⊥β.其中正确命题的序号是______.
正确答案
∵l⊥α,m⊂β,
∴①若α∥β,则l⊥β,∴l⊥m,故①正确;
②若l⊥m,则α与β平行或相交,故②不正确;
③若α⊥β,则l与m相交、平行或异面,故③不正确;
④若l∥m,则m⊥α,∴α⊥β,故④正确.
故答案为:①④.
(1)已知直线a、b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是______.
(2)已知平面α、β和直线a、b、c,且a∥b∥c,a⊂α,b、c⊂β,则α与β的关系是______.
正确答案
(1)若b⊂α,a⊥α,可证得a⊥b;若b∥α,过b作平面β,α∩β=c,a⊥α,c⊂α,则a⊥c,b∥c,于是a⊥b,
故答案为:在面内或平行;
(2)b、c⊂β,a⊂α,a∥b∥c,若α∥β,满足要求;若α与β相交,交线为l,b∥c∥l,a∥l,满足要求,
故答案为:相交或平行.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1和CC1的中点.
(1)画出由A,E,F确定的平面β截正方体所得的截面;(保留作图痕迹,使用2B铅笔作图)
(2)求异面直线直线EF和AC所成角的大小.
正确答案
(1)如图,取BC的四等分点G(靠近C的),D1C1的四等分点H(靠近C1的),
则五边形AGFHE即为由A,E,F确定的平面β截正方体所得的截面,
(2)由(1)可知EH∥AC,故∠HEF(或其补角)即为异面直线直线EF和AC所成角,
设正方体的棱长为4,可得EH==
,HF=
=
,
EF==2
,在△HEF中,由余弦定理可得
cos∠HEF==
,故∠HEF=arccos
,
故异面直线直线EF和AC所成角的大小为:arccos
给出以下命题:
(1)α,β表示平面,a,b,c表示直线,点M;若a⊂α,b⊂β,α∩β=c,a∩b=M,则M∈c;
(2)平面内有两个定点F1(0,3),F2(0-3)和一动点M,若||MF1|-|MF2||=2a(a>0)是定值,则点M的轨迹是双曲线;
(3)在复数范围内分解因式:x2-3x+5=(x-)(x-
);
(4)抛物线y2=12x上有一点P到其焦点的距离为6,则其坐标为P(3,±6).
以上命题中所有正确的命题序号为______.
正确答案
对于(1)根据平面的基本性质可知其正确;
(2)先根据||MF1|-|MF2||=2a(a>0)是定值,只有当2a<F1F2可得到动点M的轨迹即是双曲线,否则点M的轨迹不是双曲线,故错;
对于(3)在复数范围内分解因式:x2-3x+5=(x-)(x-
)是正确的;
对于(4)根据抛物线y2=12x可知p=6,准线方程为x=-6,根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=-6的距离,得xp=3,把x代入抛物线方程解得y=±6,故(4)正确.
故答案为:(1)(3)(4).
三条直线两两平行,则此三条直线可确定______个平面.
正确答案
三条直线两两平行,则其中的某两条必定确定一个平面,记为α
若第三条直线在α内,则此时,三条直线共面.如生活中道路中的交通斑马线.
若第三条直线不在α内,则它与另外的每条直线均确定一个平面.此时共确定3个平面.如物理学上三棱镜的三条棱两两平行,确定了三棱镜有三个侧面
由上所述,不可能是2个.
故答案为:1或3.
如果平面α∥平面 β 且直线l⊥α,那么直线l与平面β 的位置关系是______.
正确答案
∵平面α∥平面 β
又∵直线l⊥平面α
故直线l⊥平面β
故答案为:l⊥β
空间内5个平面最多可将空间分成______个部分.
正确答案
首先:研究n条直线最多可将平面分割成多少个部分?(这n条直线中,任两条不平行,任三条不交于同一点),设n条直线最多可将平面分割成 bn个部分,那么当n=1,2,3时,易知平面最多被分为2,4,7个部分.
当n=k时,设 条直线将平面分成了 bk个部分,接着当添加上第k+1条直线时,这条直线与前 条直线相交有k个交点,这k个交点将第k条直线分割成n段,而每一段将它所在的区域一分为二,从而增加了k+1个区域,故得递推关系式bk+1=bk+(k+1),即bk+1-bk=k+1.显然当k=1时,b1=2,当k=1,2,…(n-1)时,我们得到n-1个式子:b2-b1=2,b3-b2=3,b4-b3=4,…bn-bn-1=n
将这n-1个式子相加,得bn=(n2+n+2),即n条直线最多可将平面分割成
(n2+n+2)个部分.
我们来归纳一下解决这个问题的思路:从简单情形入手,确定 bk与 bk+1的递推关系,最后得出结论.
现在,我们回到原问题,用刚才的思路来解决空间的问题,设k个平面将空间分割成 ak个部分,再添加上第k+1个平面,这个平面与前k个平面相交有k条交线,这k条交线,任意三条不共点,任意两条不平行,因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成 bk个部分.
而这 bk个部分平面中的每一个,都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间.所以,添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了bk 个部分.由此的递推关系式
ak+1=ak+bk,即ak+1-ak=bk,当k=1,2,…(n-1)时,我们得到n-1个式子:a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,…an-an-1=bn-1.
将这n-1个式子相加,得 an=a1+(b1+b2+…+bn-1),所以:an=[(12+1+2)+
(22+2+2)+…+
(n2+n+2)]=2+
{[12+22+…+(n-1)2]+[(1+2+…+(n-1)]+2(n-1)}
=n+1+[
(n-1)n(2n-1)
(n-1)n]=n+1+
(n-1)n(n+1)=
所以:n个平面最多可将平面分割成 个部分.当n=5时,空间内5个平面最多可将空间分成 26个部分.
故答案为:26.
空间中的三条直线能确定的平面个数是______.
正确答案
当三条直线既不平行又不相交,则三条直线不能确定平面,个数是0,
当三条直线两两相交且交点不重合时,可以确定一个平面,
当三条直线相交有两个交点,且不相交的直线不平行,则有2个平面,
当三条直线两个平行,且不在一个平面上,可以确定三个平面,
综上可知可以确定0,1,2,3个平面,
故答案为:0个,1个,2个,3个.
中秋佳节,小华的妈妈买回一个哈密瓜,小华对妈妈说:妈妈,我只切3刀,您猜,最少可以切成几块?______;最多可以切成几块?______.
正确答案
实际上本题是一个三个平面,可以把空间分成几部分的问题,
三个平面分空间最少的一种情况是三个平面平行,把空间分成四部分,
三个平面分空间最多是首先两个平面相交,
第三个平面截这两个平面,空间分成8部分
故答案为:4;8
已知直线a,b,c,平面α,β,γ,并给出以下命题:
①若a⊂α,b∥α,则a∥b;
②若a⊂α,b⊂β,且α∥β;则a∥b;
③若a∥α,b∥α,则a∥b;
④若a⊥b,b∥c,则a⊥c;
其中正确的命题有______.
正确答案
①若a⊂α,b∥α,则a与b平行或异面,故①不正确;
②若a⊂α,b⊂β,且α∥β,则a与b平行或异面,故②不正确;
③若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故③不正确;
④若a⊥b,b∥c,则a⊥c,故④正确.
故答案为:④.
设l,m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,
①若l∥m,m⊂α,则l∥α
②若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥α
③若α∥β,l⊂α,则l∥β
④若l⊂α,α⊥β,则l⊥β
其中正确命题的序号为______.
正确答案
若l∥m,m⊂α,则l∥α或l⊂α,故①不正确;
若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,且m,n相交,则l⊥α,故②不正确;
若α∥β,l⊂α,则l∥β,故③正确;
④若l⊂α,α⊥β,则l与β相交、平行或l⊂β,故④不正确.
故答案为:③.
设α、β、γ为三个不同的平面,给出下列条件:①a,b为异面直线,a⊂α,b⊂β,α∥β,b∥a;②α内有三个不共线的点到β的距离相等;③α⊥γ,β⊥γ;④α∥γ,β∥γ.则其中能使α∥β的条件是______.
正确答案
由题意,由于a,b为异面直线,a⊂α,b⊂β,α∥β,b∥a,可得出其中一面中有两条相交线分别平行于另一个平面,符合面面平行的判定定理的条件,可得出α∥β,故①对;
α内有三个不共线的点到β的距离相等,由于此三点可能在面β的两侧,故不能得出面面平行,故②不符合条件;
由于α⊥γ,β⊥γ,可得出α,β两平面的位置关系可能是相交或平行,故③不对;
由于α∥γ,β∥γ,由面面平行的传递性知,在此条件下可得出α∥β,故④中的条件符合要求;
综上,①④两条件可得出α∥β
故答案为:①④
扫码查看完整答案与解析