- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
设α表示平面，a，b表示直线，给定下面四个命题：
①a∥α，a⊥b→b⊥α；
②a∥b，a⊥α→b⊥α；
③a⊥α，a⊥b→b∥α；
④a⊥α，b⊥α→a∥b．
其中正确的命题是______．（填序号）
正确答案
②④
解析
解：①若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b⊥α，故①错；
②若a∥b，a⊥α，则由线面垂直的性质：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，
即b⊥α，故②正确；
③若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故③错；
④若a⊥α，b⊥α，则由同垂直于一个平面的两直线平行，即a∥b，故④正确．
故答案为：②④．
α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
②若m∥β，n∥β，则α∥β
③l⊂α，α∥β，则l∥β
④若α∩β=γ，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥m，则m∥n
其中正确命题的个数为______．
正确答案
2
解析
解：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，如正方体共顶点的三个平面就不成立，故不正确；
②若m∥β，n∥β，则α∥β，对照面面平行的判定定理可知不正确；
③l⊂α，α∥β，则l∥β，根据面面平行的性质可知该命题正确；
④若α∩β=γ，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥m，则m∥n，如三棱柱符合条件，根据线面平行的性质可知正确
故答案为：2
平面内与过平面外两点的直线平行的直线（ ）
正确答案
解析
①若直线A1B1是过平面AC外两点的直线，则在平面AC内有无数条直线与A1B1平行；
②若直线BB1是过平面AC外两点的直线，则在平面AC内不存在直线与BB1平行；
故选C．
在下列命题中，错误的是（ ）
正确答案
解析
解：由平面的基本性质，三个不共线的点确定一个平面知A正确
由平行公理：平行于同一直线的两直线平行，知B正确
由两平面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则交线平行，知D正确
由于“在一个平面内两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行”，故C错误
故选C
下列命题中，错误的是（ ）
正确答案
解析
解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；
B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；
C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确；
D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．
故选B．
设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，因为m⊥α，l⊥m，则l⊆α或l∥α，故A不正确；
对于B，α∥β，l∥α，可得l∥β或l⊆β，再结合m⊂β，得l与m平行、相交或异面都有可能，故B不正确；
对于C，α∥β，l⊥α，可得l⊥β，结合m∥β，可得l⊥m，故C正确；
对于D，若α⊥β，α∩β=l，若m⊆α且m⊥l，则m⊥β，但条件中少了m⊆α，故D不正确．
故答案为：C
已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：在正方体ABCD-A′B′C′D′中：令底面A′B′C′D′=α
A、令m=AB，n=BC，满足m∥α，n∥α，但m∥n不成立，A错误；
B、令m=AA′，n=A′B′，满足m⊥α，m⊥n，但n∥α不成立，B错误；
C、令m=AB，n=AD，满足m∥α，m⊥n，但n⊥α不成立，C错误；
故选：D．
若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．
故选D
已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或m与n异面，故A错；
对于B，m⊥α，n⊂β，m⊥n，不能推出m⊂β，故B错误；
对于C，∵α∥β，m⊥α，
∴m⊥β，又n∥β，
∴m⊥n，故C正确；
对于D，若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥β或n⊂β．
综上所述，正确的是C．
故选C．
（2015秋•株洲校级月考）下列命题中正确的个数是（ ）
（1）若直线a不平行于平面α且a⊄α，则α内不存在与a平行的直线
（2）若直线a∥b，且a∥α，则b∥α
（3）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
（4）若平面α与平面β相交，则他们有无穷个公共点．
正确答案
解析
解：（1）若直线a不平行于α，且a⊄α，则a与α相交，∴α内不存在与a平行的直线，∴正确；
（2）直线a∥直线b，且a∥平面α，则直线b∥平面α或直线b在平面α内，故不正确；
（3）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故不正确；
（4）平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点，正确，
故选：C．
设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若b⊂α，b⊥β，则α⊥β；④若c是b在α内的射影，a⊂α且a⊥c，则a⊥b．
其中正确的个数是（ ）
正确答案
解析
解：①，由线面垂直的性质定理知，正确；
②，α与β还可以相交，错误；
③，由面面垂直的判定定理知，正确；
④，由三垂线定理知，正确．
故选C．
设a，b为两条直线，α，β属为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是（ ）
正确答案
解析
解：选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，由线面平行的判定定理可得α∥β，故A正确；
选项B，若a⊥β，α⊥β，由空间线面位置关系，可得a∥α，或a⊂α，又由已知a⊄α，故可得a∥α，故B正确；
选项C，若a⊥b，b⊥α，所以a∥α，或a⊂α，由已知可得a⊄α，故可得a∥α，故C正确；
选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β，又α⊥β，所以b⊂α或b∥α，故D错误．
故选D
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n或m∥n或m，n异面，故A，B不正确；
若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n，故C正确；
若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故D不正确．
故选：C．
（2015秋•株洲校级月考）已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或者n⊥β
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线．
④若α∩β=m，m∥n且n⊄α，n⊄β，则n∥β
以上说法正确的序号为______．
正确答案
②④
解析
解：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，当n⊂α时，n⊥β；当n⊂β时，n⊥α．故错误；
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，利用平面与平面平行的性质，可得m∥n，正确；
③m可以垂直于α内的无数条平行直线，但是m不一定垂直于α．故错误．
④根据直线与平面平行的判定定理可知：n∥α且n∥β．故正确．
故答案为：②④
已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是（ ）
正确答案
解析
如图（2），直线a、b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；
如图（3），直线a、b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，
从而选C．
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