- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，垂直于同一条的两个平面平行，所以A正确；
对于B，由l∥α，α⊥β，则l与β可以平行、相交垂直，故错误；
对于C，若l∥m，m∥α，则l∥α或l⊂α，故错误；
对于D，α⊥β，α∩β=l，l⊥m，则m与α平行、相交或m⊂α，故错误．
故选：A．
已知a、b表示不同的直线，α表示平面，其中正确的命题有（ ）
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a、b与α所成的角相等，则a∥b．
正确答案
解析
解：①若a∥α，b∥α，则a，b相交或平行或异面，故不正确；
②若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故不正确；
③若a⊥α，b⊥α，利用线面垂直的性质，可得a∥b，正确；
④等腰三角形所在的平面垂直平面时，等腰三角形的两个直角边和α所成的角相等，但a∥b不成立，故不正确．
故选：B．
（2015春•海南校级期中）如果一条直线l与平面a的一条垂线垂直，那么直线l与平面a的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：若l⊂a内，符合要求；
若l⊄α，设平面a的一条垂线为m，不妨设m与l相交，则m与l确定平面β，设β∩α=n，则m⊥n，
因为m⊥l且m、n、l都在β内，故l∥n，所以l∥α．
综上：l⊂α或l∥α
故选D
已知m、n、l为直线，α、β、γ为平面，下列命题为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：A．若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；
B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，由面面垂直的性质定理，m只有垂直于两平面的交线，才有m⊥n，故B错；
C．若l⊥n，l⊥m，m⊂α，n⊂α，由线面垂直的判定定理，只有m，n相交，才有l⊥α，故C错；
D．若α⊥β，α∥γ，在α内作直线l垂直于α，β的交线，则l⊥β，由面面平行的性质可知l∥γ，由线面平行的性质定理可得，l平行于过l的平面与γ的交线m，则m⊥β，且m⊂γ，故β⊥γ，即D正确．
故选D．
已知m，m表示两条不同直线，α表示平面，下列命题中正确的有______（填序号）．
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
④若m∥α，n∥α，则m∥n．
正确答案
①②
解析
解：①若m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质，可得m∥n，正确；
②若m⊥α，n⊂α，利用线面垂直的性质，可得m⊥n，正确；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α⊄不正确；
④若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，不正确．
故答案为：①②．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN； ②AC1∥平面MNPQ； ③AC1与PM相交； ④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是______．
正确答案
①③④
解析
解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴A1D⊥AD1，
∵CD⊥面AA1D1D，AD1⊂面AA1D1D，
∴CD⊥AD1，
∴AD1⊥面A1CD，∴A1C⊥AD1
∵M，N分别是AA1，A1D1的中点，∴AD1∥MN，即A1C⊥MN，故①正确；
由于M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，
则AC1与PM相交，故②不正确，③正确；
∵N∉面ACC1A1，而M，P，C∈面ACC1A1，∴NC与PM异面，故④正确；
故答案为：①③④．
给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．
其中为真命题的是______．
正确答案
①②④
解析
解：m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m异面，故①正确；
若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，在则α内必然存在两相交直线a，b使a∥m，b∥l，
又由n⊥l，n⊥m，则n⊥a，n⊥b，∴n⊥α，故②正确；
若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m可能平行与可能相交，也可能异面，故③错误；
若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则由面面平行的判定定理可得α∥β，故④正确；
故答案为：①②④
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵直线l虽与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，
∴l不一定平行于α，从而排除A．
∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α，或a与α相交，
∴a和α不一定平行，从而排除B．
∵直线a∩b=∅，b⊂α，则只能说a和b无公共点，但a可能在平面α内，
∴a不一定平行于α，从而排除C．
∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α，或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．
故选D
设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，由线面垂直的性质定理可得：若m∥n，m⊥α，则n⊥α是正确的，所以A正确；
对于B，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知B正确；
对于C，根据线面平行的性质，可知m平行于经过m的平面与平面α的交线，但不一定平行于n（α∩β=n），故C不正确；
对于D，根据面面垂直的判定，可得D正确
故选C．
若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则（ ）
正确答案
解析
解：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b，
当b∥α时，a⊥α，则a⊥b，
当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直．
∴直线a⊥直线b，且a⊥平面α⇒b⊂α或b∥α
故选：D．
（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．
正确答案
解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，
因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，又有题设，
E为PC的中点，故EH∥PA，
又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE
（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC
由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，
故AC⊥平面PBD
（3）由AC⊥平面PBD可知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2
在Rt△BHC中，tan∠CBH=
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为
解析
解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，
因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，又有题设，
E为PC的中点，故EH∥PA，
又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE
（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC
由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，
故AC⊥平面PBD
（3）由AC⊥平面PBD可知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2
在Rt△BHC中，tan∠CBH=
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为
m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：m，n均为直线，其中m，n平行α，m，n可以相交也可以异面，故A不正确；
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故B不正确；
若m∥α，m∥β，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故C不正确；
m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；
故选D．
直线a，b是不同的直线，平面α，β是不同的平面，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A选项不正确，线面平行，面中的线不一定平行于这条直线；
B选项不正确，平行于同一个平面的两条直线其位置关系可以是平行、相交、异面；
C选项正确，此是线面平行的判定定理；
D选项不正确，两个平面中存在两条直线对应平行，两平面可能是相交的，故不对．
故选C
（1）证明：PA⊥平面ABCD．
（2）在线段BC上是否存在点F，使得PF∥平面EAC？若存在，确定点F的位置，若不存在请说明理由．
正确答案
证明：（1）
同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD．
（2）当F为BC中点时，PF∥平面EAC，理由如下：设AC，FD交于点S
因为AD∥FC所以
因为PF⊂平面EAC，ES⊂平面EAC，所以PF∥平面EAC．
解析
证明：（1）
同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD．
（2）当F为BC中点时，PF∥平面EAC，理由如下：设AC，FD交于点S
因为AD∥FC所以
因为PF⊂平面EAC，ES⊂平面EAC，所以PF∥平面EAC．
若a、b为两条直线，α为平面，a∥b，b∥α，则（ ）
正确答案
解析
∴a与α的关系是：a∥α或a⊂α．如图：
即a与α不相交．
故选：C．
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