- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l∥α，l⊥β，则α⊥β．④若l∥α，则l平行于α内的所有直线．其中正确命题的序号是 ______．（把你认为正确命题的序号都填上）
正确答案
①中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；
②中，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；
③中，若l∥α，l⊥β，则α中存在直线a平行l，即 a⊥β，由线面垂直的判定定理，得则α⊥β，故③正确；
④中，若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故④的错误；
故答案：②③
关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；
③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．
其中假命题的序号是______．
正确答案
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故①错误
②若m∥n，m⊂α，则
当n⊄α时，根据线面平行的判定定理可得n∥α，由n⊥β可得α⊥β，
当n⊂α时，由n⊥β，则可得m⊥β，由平面垂直的判定定理可得，α⊥β，故②正确
③若α∩β=m，m∥n，
当n⊆α时，满足已知；当n⊈α时，由线面平行的判定定理可得则n∥α
n与β的关系同理可判断，故③错误
④若m⊥n，α∩β=m，
若n⊆β，由线面垂直的判定定理可得则n⊥α或
若n⊆α，由线面垂直的判定定理可得n⊥β．
n⊈α，n⊈β时，n与α，β不垂直，即有可能n与α，β斜交，故④错误
故答案为：①③④
已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，直线a，b，c分别为α，β，γ内的直线，则下列命题中：①任意b⊂β，b⊥γ；②任意b⊂β，b∥γ； ③存在a⊂α，a⊥γ； ④存在a⊂α，a∥γ； ⑤任意c⊂γ，c∥α； ⑥存在c⊂γ，c⊥β．真命题的序号是______．
正确答案
对于①，根据β⊥γ，可得在β内与交线垂直的直线，必定与垂直于γ，但是条件中b⊂β，没有指出b和交线垂直，故b⊥γ不成立，因此①错误；
对于②，当β内的直线b与β、γ的交线平行时，有b∥γ，但是条件中b⊂β，没有指出和交线平行，故②错误；
对于③，当α⊥γ成立时，就存在a⊂α，a⊥γ，但条件中α与γ相交但不垂直，故不存在a满足a⊥γ，故③错误；
对于④，α与γ相交，设交线为l，则当a⊂α，a∥l时，a∥γ成立，故④正确；
对于⑤，因为α与γ相交，设交线为l，则当c⊂α，但c与l不平行时，c与γ也不平行，故⑤错误；
对于⑥，因为β⊥γ，设它们的交线为m，则若c⊂γ，且c⊥m，必定有c⊥β，故⑥正确．
故答案为：④⑥
若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题有______．
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直．
正确答案
因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故①为假命题；
因为垂直于同一平面的两直线平行，故②为真命题；
在③中n可以平行于β，也可以在β内，故③为假命题；
④中，m、n也可以不互相垂直，故④为假命题．
故答案为：②
设m、n，是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题，
①若m⊥n，m⊥α，n⊊α，则n∥α；
②若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
其中正确命题的序号是______（把所有正确命题的序号都写上）．
正确答案
对于①，若m⊥n，m⊥α，即n、α同时与直线m垂直，
可得n⊂α或n∥α，但是已知条件中有n⊊α，所以n∥α成立，故①正确；
对于②，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，n可在与直线m垂直的平面γ内转动，
必定存在直线m的位置，使它平面α、β都不垂直，故“n⊥α或n⊥β”不成立，故②错误；
对于③，若m⊥β，α⊥β，即m、α同时与平面β垂直，则m∥α或m⊂α，不一定有m∥α，故③错误；
对于④，若m⊥α，则直线m是平面α的法线，同理n⊥β，直线n是平面β的法线，
而m⊥n，说明平面α的法线与β的法线互相垂直，因此“α⊥β”成立，故④正确．
故答案为①④
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；
（2）若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；
（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；
（4）若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
上面命题中，所有真命题的序号为______．
正确答案
由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
（1）若α∥β，m∈β，n∈α，则m∥n或m与n异面，故（1）不正确；
（2）若α∥β，m⊥β，则m⊥α，再由n∥α，得m⊥n，故（2）正确；
（3）若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故（3）不正确；
（4）若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故（4）正确．
故答案为：（2），（4）．
已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α； ②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α； ③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α； ④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．
其中真命题的序号是______．（填上你认为正确的所有命题的序号）
正确答案
对于①，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以①错；
对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正确
对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错
对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以④错
故答案为②
已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同平面，有下列四个命题：①若α∩β=a，β∩γ=b且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若a⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂β，α∩β=m，l⊥a，l⊥b，则l⊥m．其中正确的是______．
正确答案
①中条件下，有可能有α∥γ，也有可能有α∩γ，所以①不正确；
④条件下，除了能有 l⊥m外，还可以有l∥m发生．所以④不正确．
故答案为：②③．
已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面．命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β．下面的命题中，真命题的序号是______．
①“p或q”为真；②“p且q”为真；③p真q假；④“￢p”为真．
正确答案
由α∥β，m⊂α，n⊂β，得到m和n平行或异面，所以命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β则m∥n为假命题，则￢p为真命题；
由m⊥α，n⊥β，m∥n，能推出α∥β，所以命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β为真命题，则￢q为假命题．
所以“p或q”为真；“p且q”为假；p假q真；“￢p”为真．
所以真命题是①④．
故答案为①④．
下列四个命题中：
①平行于同一平面的两个平面平行
②平行于同一直线的两个平面平行
③垂直于同一平面的两个平面平行
④垂直于同一平面的两条直线平行
其中正确命题的序号为______．
正确答案
①根据平面平行的传递性知：平行于同一平面的两个平面互相平行，所以①正确．
②由于线面平行时，平面的位置是不确定，所以平行于同一直线的两个平面可能平行，可能相交，所以②错误．
③当两个平面垂直时，平面的位置是不固定的，所以垂直于同一平面的两个平面可能相交，可能平行，所以③错误．
④根据线面垂直的性质定理可知垂直于同一平面的两条直线平行，所以④正确．所以正确的命题是①④．
故答案为：①④．
不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：①
正确答案
由面面平行的性质可得
故答案为2
设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥n；
②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中，所有真命题的序号是______．
正确答案
∵m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，∴①×；
∵m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α∴②×；
根据面面垂直的性质，在其中一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面，∴③√；
∵α∥β，n⊥α⇒n⊥β，又∵m∥n，∴m⊥β，∴④√；
故答案是③④
已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；
④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；
⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
正确答案
①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；
②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；
③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；
④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；
⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．
故答案为：①④．
设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是______．（填所正确条件的代号）
①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面．
正确答案
①x，y，z为正方体从一个顶点出发的三条直线，结论错误；
②x，y，z为正方体中交于一点的三个平面，结论错误；
③由垂直于同一平面的两条直线平行可知③正确；
④中有可能x⊂y，结论错误；
故答案为③
给出下列四个命题：
①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定形式是“∀x∈R，x2+1＞3x”；
②在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；
③将函数y=cos2x的图象向右平移
④命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否命题是“∀x∈R，x2+1＞3x”．
其中正确命题的序号是 ______．
正确答案
对于命题①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”；因为命题的否定形式只否定结果，应该是：∀x∈R，x2+1≤3x；故错误．
对于命题②在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；
因为m并不属于α，故对线面垂直关系的推导是错的；
对于命题③：将函数y=cos2x的图象向右平移
对于④命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否命题是“∀x∈R，x2+1＞3x”．因为否命题是对结果和条件都否定的命题，显然正确．
故答案为③④．
扫码查看完整答案与解析