- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
如图，已知α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
求证：(1)E、F、G、H共面；
(2)平面EFGH∥平面α。
正确答案
证明：(1)∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH∥BD且EH=
同理，FG∥BD且FG=
∴FG∥EH且FG=EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，即E、F、G、H共面．
(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′，
∵α∥β，
∴AD′∥BD，
又∵BD∥EH，
∴EH∥BD∥AD′，
∴EH∥平面α，同理，EF∥平面α，
又EH∩EF=E，EH
∴平面EFGH∥平面α。
三个平面能把空间分为（ ）部分．（填上所有可能结果）
正确答案
4，或6，或7，或8．
下列说法正确的有（ ）（请将你认为正确的结论的序号都填上）．
①三点确定一个平面；
②四边形一定是平面图形；
③梯形一定是平面图形；
④平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点．
正确答案
③
“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为（ ）．
正确答案
P∈a且P
如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1。
（1）求证：E，B，F，D1四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=
（3）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ。
正确答案
解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，
所以D1F//CN，
同理四边形DNEA是平行四边形，
所以EN//AD，且EN=AD，
又BC//AD，且AD=BC，
所以EN//BC，EN=BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN//BE，
所以D1F//BE，
所以
（2）因为
所以
所以
所以MB=1，
因为AE=1，
所以四边形ABME是矩形，
所以EM⊥BB1
又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，
且EM在平面ABB1A1内，
所以
（3）
所以
所以∠MHE就是截面
所以
∵ME=AB=3，
所以3：MH=BF：1，BF=
所以MH=
所以
已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且
求证：（1）四边形EFGH是梯形；
（2）FE和GH的交点在直线AC上。
正确答案
证明：（1）连结BD，
∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴EH∥BD，
又∵
∴FG∥BD，
因此EH∥FG且EH≠FG，
故四边形EFGH是梯形；
（2）由（1）知EF，HG相交，设EF∩HG=K，
∵
∴K∈平面ABC，同理K∈平面ACD，
又平面
∴K∈AC，故FE和GH的交点在直线AC上。
下列命题中，所有正确的命题的序号是（ ）．
①一条直线和两条直线平行线中的一条垂直，则它也和另一条垂直；
②空间四点A、B、C、D，若直线AB和直线CD是异面直线，那么直线AC和直线BD也是异面直线；
③空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上；
④若一条直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α．
正确答案
①②③
已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是（ ）。
正确答案
1或4
如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠BAF=90°，BC
（Ⅰ）求证：C、D、E、F四点共面；
（Ⅱ）若BA=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵面ABEF⊥面ABCD，AF⊥AB，
∴AF⊥面ABCD，
∴以A为原点，以AB，AD，AF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
不妨设AB=a，AD=2b，AF=2c，
则
∴
∴
∵
∴DF∥CE，
∴C、D、E、F四点共面．
（Ⅱ）解：设AB=1，则BC=BE=1，
∴
设平面AED的法向量为
由
设平面BED的法向量为
由
由图知，二面角A-ED-B为锐角，
∴其大小为
如图，多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1．
（1）证明四边形ABED是正方形；
（2）判断点B，C，F，G是否四点共面，并说明为什么？
（3）连接CF，BG，BD，求证：CF⊥平面BDG．
正确答案
证明：（1）
同理AD∥BE，
则四边形ABED是平行四边形．
又AD⊥DE，AD=DE，
∴四边形ABED是正方形
（2）取DG中点P，连接PA，PF．
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．
又AB∥DE且AB=DE，∴AB∥PF且AB=PF
∴四边形ABFP为平行四边形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，
∴BF∥CG，
∴B，C，F，G四点共面
（3）同（1）中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．
且有AC∥DG、EF∥DG，从而AC∥EF，
∴EF⊥AD，BE∥AD
又BE=AD=2、EF=1故
故四边形BFGC为菱形，CF⊥BG
又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．
正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．
如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA=2。
(Ⅰ)P，C，D，M四点是否在同一平面内，为什么？
(Ⅱ)求证：面PBD⊥面PAC；
(Ⅲ)求直线BD和平面PMD所成角的正弦值．
正确答案
解：(Ⅰ)P，C，D，M四点不在同一平面内，
反证法：假设P，C，D，M四点在同一平面内．
∵DC∥AB，
∴DC∥面ABPM，
∵面DCPM∩面ABPM=PM，
∴DC∥PM，
又DC∥AB，
∴AB∥MP，这显然不成立，
∴假设不成立，即P，C，D，M四点不在同一平面内。
(Ⅱ)∵MA∥PB，MA⊥平面ABCD，
∴PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥AC，
又由AC⊥BD，
∴AC⊥面PBD，
∵AC
∴面PBD⊥面PAC。
(Ⅲ)如图，分别以BA，BC，BP为x，y，z轴， B为原点，
建立空间直角坐标系，
则
设面PMD的法向量为
则
令x=1，得
直线BD和平面PMD所成的角与
所以，直线BD和平面PMD所成的角的正弦值为
在棱长为α的正方体ABCD- A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点．
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（3）求平面AMN和平面BFED间的距离．
正确答案
（1）证明：
∴
∴E、F、B、D四点共面．
（2）证明：连结AC交BD于O点，连结A′C′，交MN、EF于G、K，
连结AG、OK，
∴
又
∴
∴AG∥平面BEFD，
又
∴MN∥平面BFED，
∴平面AMN∥平面BFED．
（3）解：过G作GH⊥OK于H，则GH即为所求，
∴
又
∴
又
∴
又∵
又 ∵
∴
所以，平面AMN与平面BFED之间距离为
给出下列说法：
①空间任意三点确定一个平面；
②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；
③圆柱的侧面展开图是一个矩形；
④一条直线垂直于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都垂直．
其中正确的是（ ）。
正确答案
③④
下列命题正确的是
[ ]
正确答案
给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是
[ ]
正确答案
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