热门试卷

解：（1）取CD中点F，连接EF、PE，则AD∥平面PEF，证明如下

∵△ACD中，E、F分别是AC、CD的中点，∴EF∥AD

∵EF⊆平面PEF，AD⊈平面PEF，

∴AD∥平面PEF，即存在CD中点F，使AD∥平面PEF

（2）连接DE、DP，设F到平面PDE的距离为d

∵AB=AC=4，∠BAC为直角，∴S△ABC=AB•AC=8

又∵AD是△ABC的边BC上的中线，EF是△ACD的中位线

∴S△DEF=S△ABC=1

∵PA⊥平面ABC，AC、AD⊆平面ABC，

∴Rt△PAE中，PE==2，Rt△PAD中，PD==2

又∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=2

∴△PDE中，PE2+DE2=12=PD2，可得S△PDE=PE•DE=2，

由此可得三棱锥F-PDE体积V=S△DEF×PA=S△PDE×d

∴F到平面PDE的距离为：d===

解：（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．

∴FO∥DC，且FO=DC

∴FO∥AE

又E是AB的中点．且AB=DC．

∴FO=AE．

∴四边形AEOF是平行四边形．

∴AF∥OE又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC

∴AF∥平面PEC

（Ⅱ）连接AC

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角

在Rt△PAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角正切为

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，

由三垂线定理，得PM⊥CE

∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角

由△AME∽△CBE，可得，

∴

∴二面角P一EC一D的正切为

解：由三视图可知，多面体是四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，侧棱PA⊥平面ABCD．且PA=2，AB=BC=1，AD=2．（1分）

如图以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系A-xyz．

由三视图可知，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（3分）

设E（0，0，a），为平面EBD的法向量，

则，，

由，得．

令y=1，则．（4分）

又，且，

∴，

∴a= （5分）

∴在棱PA上存在点E，使得PC∥平面EBD，

此时PE：PA=1：3 （6分）

（Ⅱ）设分别为平面BPC和平面DPC的法向量，

又，

则由，得，

令z1=1，则．（9分）

同理．

∴．（11分）

由图可知二面角B-PC-D为钝二面角，

∴二面角B-PC-D的大小为．（12分）

证明：（1）∵M、N分别为SB、SD的中点，

∴MN∥BD，

∵MN⊂平面AMN，

BD不包含于平面AMN，

∴BD∥面AMN．

（2）∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴SA⊥CD，

∵底ABCD为正方形，

∴CD⊥AD，

∵SA∩AD=A，

∴CD⊥平面SAD．

证明：（1）依题意，在正三棱柱中，，

AA1=3，从而AB=2，AA1⊥平面ABC，

所以正三棱柱的体积 =．

（2）连接A1C，设A1C∩AC1=E，

连接DE，因为AA1C1C是正三棱柱的侧面，

所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，

所以DE是△A1BC的中位线，DE∥A1B，

因为DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1．

证明：（1）正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1∥DD1，

所以四边形BB1D1D为平行四边形                    （3分）

∴BD∥B1D1（5分）

∴BD∥平面AB1D1（7分）

（2）同理证明：BC1∥AD1（9分）

∴BC1∥平面AB1D1（11分）

∵BD∩BC1=B，B1D1∩AD1=D1（12分）

所以平面BDC1∥平面AB1D1（14分）

解：（I）证明：连接AC，由于E、F分别为PC、BD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，则EF为三角形CPA的中位线，

故有 EF∥PA．

再由PA⊂平面PAD，EF不在平面PAD内，可得EF∥平面PAD．

（Ⅱ）取AD得中点O，∵侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，则PO垂直平面ABCD，且PO==1．

故三棱锥P-BCD的体积V=•S△BCD•PO=••1=．

（Ⅰ）证明：由题意可得，AB∥CD，CD⊄平面PAB，而AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（4分）

（Ⅱ）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC．

又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，

所以PO⊥平面ABCD．…（8分）

所以PO是棱锥的高，又AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，PO===，

四棱锥P-ABCD的体积为 •SABCD•PO=（）PO=×2=．

（1）证明：如图所示，连接AC，AC交BD于点O，连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO．

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB；

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．

∵PD=DC，∴△PDC是等腰直角三角形．

又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①

由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．

又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．

又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②

由①和②推得DE⊥平面PBC．

而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．

又EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD；

（3）解：以D点为原点建立如图所示的直角坐标系

设M点坐标为（1，a，0）（0≤a≤1），则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），

则，．

设平面PDB的一个法向量为，

由，取y=-1，得．

由||=||=，解得：a=或a=（舍）．

∴在线段AB上存在点M，使PM与平面PDB所成角的正弦值为，此时AM=．

（1）证明：连接D1C交DC1于F，连接EF，

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形DCC1D1为矩形，

∴F为D1C的中点．

又E为BC的中点，∴EF∥D1B．

∴BD1∥平面C1DE．…（6分）

（2）解：连接BD，，

又△BCD的面积为．

故三棱锥D-D1BC的体积．…（12分）

证明：连接A1B交AB1于G点，连接FG

∵四边形ABB1A1为平行四边形∴A1G=BG

又∵A1F=C1F∴FG∥BC1

又∵FG⊂平面AFB1BC1⊄平面AFB1

∴BC1∥平面AFB1