热门试卷

解：（1）由三视图可得PA⊥面ABCD，且ABCD 为矩形，PA=，AB=，AD=2．

∵E，F分别为PB，PC中点，∴EF∥BC，∴EF∥AD，而 AD⊂平面PAD，EF不在平面PAD内，

故有 EF∥平面PAD．

（2）E到平面ABC的距离等于=，△ABC的面积为 =，

故三棱锥E-ABC的体积为•（ ）•=••=．

证明：（1）∵ED⊥DA，ED⊥DC，ED⊥面ABCD

以D点为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），

G（1，0，2），F（0，1，2）…（3分）

=（-2，2，0），=（-1，1，0）

∴=2，即AC∥GF

又∵AC⊄面BFG，GF⊂面BFG，AC∥平面BGF…（6分）

（2）设点M的坐标为（x，0，0）

则=（x-1，0，-2），=（-2，-1，2），=（-1，-2，2），

设平面BGF的法向量为，

则可求得=（1，1，）…（9分）

GM与平面BFG所成的角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|==解得x=1，所以M是AD的中点…（12分）

证明：（Ⅰ）因为∠ACB=90°，所以AC⊥CB，

又侧面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1，

又AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1．

（II）连接A1B，交AB1于O点，连接MO，

在△A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点，所以OM∥A1N

又OM⊂平面AB1M，A1N⊄平面AB1M，

所以A1N∥平面AB1M．

（1）证明：过B作BB′⊥α，垂足为B′，连接CB′、DB′，设E为B′D的中点，

连接NE、CE，则NE∥BB′且NE=BB′，又AC=BB′，

∴MCNE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）．

∴MN∥CE．又CE⊂α，MN⊄α，∴MN∥α．

（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D==，

∴CE==，

即线段MN的长为．

解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC．

在菱形ABCD中，BD⊥AC，又∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB．

又∵DE⊂平面PDB，∴AC⊥DE．

（Ⅱ）当E为PB中点时，∵O为BD中点，∴EO∥PD．

∵EO⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，∴PD∥平面AEC．

（Ⅲ）∵PD⊥平面ABCD，∴∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角．

由（Ⅰ）的证明可知，AC⊥平面PDB，∴AC⊥EO．

∵AC=6，∴，因其最小值为6，∴EO的最小值为2，

此时EO⊥PB，，∴，

∴PB与平面ABCD成30°的角．

（1）证明：如图，设H是AD的中点，可得GH=3，则GH=EF，

又∵GH∥CD，EF∥CD

∴GH∥EF，则EFHG为平行四边形，

故EG∥FH，

又∵FH⊂平面ADF

∴EG∥平面ADF；

（2）解：∵△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形．

∴FH⊥AD，

又∵平面ADF⊥平面ABCD

∴FH⊥平面ABCD，

∴EG⊥平面ABCD

∴∠EDG是直线DE与平面ABCD所成的角

∵∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，

又∵AB=AD=2，∴BD=2∴∠ADB=60°，

又∵CD=4，由余弦定理

∴∠DBC=90°，，

∴

又∵EG=FH=1，∴，

∴

所以直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．

证明：（1）连接AC、BD交于O点，连接C1O．…（2分）

∵C1C∥A1A，∴四边形ACC1A1为平行四边形．

又O1，O分别为A1C1，AC的中点，∴C1O∥AO1．…（4分）

∵C1O⊂平面C1BD，AO1⊄平面C1BD，∴AO1∥平面C1BD．…（7分）

（2）连接A1B，A1D，A1O．

∵A1A=AB=AD，又∠A1AB=∠A1AD，△A1AB≌△A1AD

∴A1B=A1D．∵O为BD中点，∴BD⊥A1O．…（9分）

又底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC…（12分）

∵AC∩A1O=O．∴BD⊥平面ACC1A1，

∵BD⊂平面ABCD∴平面ACC1A1⊥平面ABCD．…（14分）

解：（I）证明：（I） 因为△ABC是正三角形，M是AC中点，

所以BM⊥AC，即BD⊥AC…（1分）

又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA⊥BD…（2分）

又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分）

又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC…（5分）

（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM=…（6分）

在△ACD，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD=CD

∠CAD=30°，所以，DM=，所以BM：MD=3：1…（8分）

所以BN：NP=BM：MD，所以MN∥PD…（9分）

又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所 以MN∥平面PDC…（11分）

（Ⅲ）假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，

所以CD∥平面PAB…（12分）

又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以CD∥AB…（13分）

这与CD与AB不平行，矛盾

所以直线l与直线CD不平行…（14分）

解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．

∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．

在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=a，B1C1=CF=2a，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．

∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，可得B1F⊥FD．

∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面AFD．

（2）∵B1F⊥平面AFD，∴B1F是三棱锥B1-ADF的高

等腰△ABC中，AD==2，

矩形BB1C1C中，DF=B1F==

因此，三棱锥B1-ADF的体积为

V=×S△AFD×B1F==．

（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM，

∵AE=CF=2a，∴四边形AEFC为矩形，可得M为EC中点．

∵D为BC中点，∴MD∥BE．

∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF．

解：（1）连接AC，∵E、F分别为AD1、CD1的中点，∴EF∥AC，

EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD．

（2）连接B1D1，B1C，

∵BD∥B1D1，∴∠B1D1C为两异面直线BD与CD1所成的角，

∵正方体ABCD-A1B1C1D1

∴B1D1=B1C=CD1，∴∠B1D1C=，

∴两异面直线BD与CD1所成角的大小为．

解：（1）再取PC的中点Q，∵四边形ABCD为菱形，M、N 分别为AD、PB 的中点，∴MD平行且等于BC，NQ平行且等于BC，

故MD和NQ平行且相等，故四边形MNQD为平行四边形，故 AM∥DQ．

再由 DQ⊂平面PCD，AM不在平面 PCD内，可得 MN∥平面PCD．

（2）∵四边形ABCD为菱形，PA=PD=AD=2，∠DAB=60°，∴PA=PD=AD=2=AB=BD=CD，

故AN是等腰三角形PAB的底边上的中线，故有AN⊥PB．

同理可得，DN⊥PB．

由于AN和 DN是平面 AND内的两条相交直线，故有PB⊥平面AND．

而AD⊂平面AND，∴AD⊥PB．

（3）由于平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，M为AD的中点，故有PM⊥平面ABCD，

故PM为三棱锥P-DBC的高线，且PM=AD=，

∴VD-PBC=VP-BCD=•S△BCD•PM=•（•BC•CDsin60°）•PM=×（）•=1．

解：方法一

（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，连接OE，

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE

∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDE

（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，

∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角

在Rt△ASB中，AS==，AB=，

∴，

∴二面角A-DF-B的大小为60°

方法二

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系

设AC∩BD=N，连接NE，

则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），

∴=（，

又点A、M的坐标分别是

（）、（

∴=（

∴=且NE与AM不共线，

∴NE∥AM

又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDF

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF

∴为平面DAF的法向量

∵=（•=0，

∴=（•=0得，∴NE为平面BDF的法向量

∴cos＜＞=

∴的夹角是60°

即所求二面角A-DF-B的大小是60°

解：（Ⅰ）PB∥平面EAC．证明如下：

连接BD交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点，

又∵E为PD的中点，

∴EO∥PB，

∴PB∥平面EAC（4分）

（Ⅱ）∵CD⊥AD，且侧面PAD⊥底面ABCD，

而侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴CD⊥侧面PAD，

∴CD⊥AE

∵侧面PAD是正三角形，E为侧棱PD的中点，

∴AE⊥PD，

∴AE⊥平面PCD；（8分）

（Ⅲ）过E作EM⊥PC于M，连接AM，由（2）及三垂线定理知AM⊥PC．

∴∠AME为二面角A-PC-D的平面角，

由正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，

∴PD=AD=AB=DC，

∴在等腰直角三角形DPC中，设AB=a，则AE=a，PC=a，EM=×a．

在Rt△AEM中，tan∠AME===．

即二面角A-PC-D的正切值为．（12分）

证明：（1）方法一：取CE的中点N，连接BN，如图1所示．

∵△CDE中，M、N分别是DE、CE的中点，∴MN∥CD且MN=CD．

在矩形ABCD中，∵H是AB的中点，∴BH∥CD且BH=CD，

∴MN∥BH且MN=BH，从而四边形BHMN为平行四边形，∴MH∥BN．

又∵MH⊄平面BCE，BN⊂平面BCE，∴MH∥平面BCE．

方法二：取AE的中点P，连接MP、HP，

在△ABE中，∵P、H分别是AE、AB的中点，∴HP∥BE，

∵HP⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴HP∥平面BCE；同理有MP∥平面BCE，

又∵MP∩HP=P，∴平面MPH∥平面BCE，

∵MH⊂平面MPH，∴MH∥平面BCE．

（2）取CD中点F，连接EH、EF、FH，如图2所示，则在矩形ABCD中，FH⊥AB，FH=AD=2．

在△ABE中，AE=BE=2，∴EH⊥AB，∵FH∩EH=H，∴AB⊥平面EFH，

∵平面ABCD⊥平面ABE，∴∠EHF=90°，

∴Rt△EFH的面积等于几何体E-ABCD左（侧）视图的面积，

得，即，

∴在ABE中，有AH2+EH2=BH2+EH2=AE2=DE2=22，得，从而．

由AE2+BE2=AB2=8知，AE⊥BE．

∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，∴AD⊥平面ABE，

又∵BE⊂平面ABE，∴AD⊥BE，而AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，

∵BE⊂平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．