热门试卷

解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形∴EF∥GH

又∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD∴EF∥平面BCD

又∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC

∴EF∥BC

又∵BC⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH∴BC∥平面EFGH

（2）由（1）可得BC∥HG，同理可证得：AD∥EH

∵EH∥AD∴∴EH=at

又∵Ha∥BC∴

∴HG=a（1-t）∴周长λ=2（EH+HG）=（at+a-at）=2a=定值．

（3）∵EH∥ADHG∥BC

∴∠EHG是AD与BC所成的角（设∠EHG为锐角）∴∠EHG=30°

∴S=EH×HG×sin30°==

∴当t=时，S最大=．

（1）证明：取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，

∵BD=3BM，∴=．

∴DE∥MN，且DE=3MN，

∵AF∥DE，且DE=3AF，

∴AF∥MN，且AF=MN，

故四边形AMNF是平行四边形．

∴AM∥FN，

∵AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，

∴AM∥平面BEF． 

（2）解：∵DE⊥平面ABCD，∴BD为BE在平面ABCD上的射影，

∴∠EBD=60°，∴在Rt△BDE中，可得DE=BDtan60°=．

∵DE⊥平面ABCD，

∴平面ADEF⊥平面ABCD，且交线为AD

又AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，即BA为四棱锥BADEF的高．

∵ADEF是直角梯形，∴==．

∴=．

又=．

∴V多面体ABCDEF=VB-ADEF+VE-DBC=．

解：取AC的中点D，连接MD、ND

∵点D为AC的中点，点M是线段AB中点，N是线段A1C1的中点

∴MD∥BC，ND∥C1C

而MD⊄平面BCC1B1，MD⊂平面BCC1B1，ND⊄平面BCC1B1，ND⊂平面BCC1B1，

∴MD∥平面BCC1B1，ND∥平面BCC1B1，而MD∩ND=D

∴面MND∥平面BCC1B1，而MN⊂面MND

∴MN∥平面BCC1B1．

解：

（1）证明：连A、C交BD于O，连O、E，因为底面是正方形，所以，O是AC的中点，

又因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，所以，OE∥PA，

又因为OE⊂平面DEB，PA⊄平面DEB，所以PA∥平面DEB．

（2）因为E是PC的中点，所以，E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，

所以，．

证明：（I）∵E，F分别是PC，PD的中点

∴EF∥CD

又∵AB∥CD，

∴AB∥EF，

又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB；

∴EF∥平面PAB；

解：（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC

故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小

作MH⊥AF，垂足为H，连接EH

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AB

又∵AB⊥AD，PA∩AD=A

∴AB⊥平面PAD

∴EF⊥平面PAD

∵MH⊂平面PAD

∴EF⊥MH

∴MH⊥平面ABEF

∴∠MEH是ME与平面ABEF所成角

在Rt△EHM中，EM=AC=，MH=

∴sin∠MEH==

∴AC与平面ABEF所成角的正弦为

证明：作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN．

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE=BD．

又AP=DQ，∴PE=QB，

又PM∥AB∥QN，

∴==，=，

∴=，

∴PM∥QN，且 PM=QN即四形PMNQ为平行四边形，

∴PQ∥MN．

又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，

∴PQ∥平面BCE．

解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AA1⊥底面ABCD，故∠A1CA即为CAl与底面ABCD所成角．

设正方体的棱长等于1，则 AA1=1，AC=，Rt△A1CA中，tan∠A1CA==．

（2）证明：设AC和BD交与点O，则O是AC的中点．再由E是AA1的中点可得EO是△A1CA的中位线，∴EO∥AC．

而EO⊂平面BDE，A1C不在平面BDE 内，∴A1C∥平面BDE．

解：连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，

则有FGDD1，BEDD1，

∴FGBE，可得四边形BEFG为平行四边形．

∴EF∥BG．

∵EF⊄平面A1BD，BG⊂平面A1BD，∴EF∥平面A1BD．

同理可得B1C∥平面A1BD，而向量是平面A1BD内的向量

∴向量、、都与平面A1BD平行．

由此可得：将向量、、作适当的平移后，可以共面于平面A1BD

即、、是共面向量．

（1）证明：连接EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，

∴BB1∥ME，又BB1⊄平面EFM，∴BB1∥平面EFM．

（2）证明：取BC的中点N，连接AN由正三棱柱得：AN⊥BC，

又BF：FC=1：3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME．

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF⊂平面EFM，∴BC⊥EF．

（3）解  取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1-B1D-C的平面角，易得∠A1QO=arctan

证明：（1）设AC∩BD=G，连接GF．

因为BF⊥面ACE，CE⊂面ACE，所以BF⊥CE．

因为BE=BC，所以F为EC的中点．（3分）

在矩形ABCD中，G为AC中点，所以GF∥AE．（5分）

因为AE⊄面BFD，GF⊂面BFD，所以AE∥面BFD．（7分）

（2）取AB中点O，连接OE．因为AE=EB，所以OE⊥AB．

因为AD⊥面ABE，OE⊂面ABE，所以OE⊥AD，

所以OE⊥面ABD．（9分）

因为BF⊥面ACE，AE⊂面ACE，所以BF⊥AE．

因为CB⊥面ABE，AE⊂面ABE，所以AE⊥BC．

又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．（11分）

又BE⊂面BCE，所以AE⊥EB．

所以，．（12分）

故三棱锥E-ADC的体积为

．（14分）

解：（Ⅰ）连结A1B，设A1B交AB1于E，连结DE．

∵△A1BC中，点D是BC的中点，点E是A1B的中点，

∴DE∥A1C．        …（3分）

∵A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D．    …（6分）

（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC．

∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC∩平面B1BCC1=BC，AD⊂平面ABC，

∴AD⊥平面B1BCC1．

∵BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1．…（9分）

∵点D是BC中点，，∴．

由此可得：，

∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1，可得∠BDB1=∠BC1C．

∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90°

∴BC1⊥B1D，…（13分）

∵B1D∩AD=D，B1D、AD⊂平面AB1D，

∴BC1⊥平面AB1D．       …（15分）

证明：在AB上取一点P，使=，则 MP∥SB．∵SB⊂面SBC，MP不在平面SBC内，

∴MP∥平面SBC．     又∵=，∴=，∴NP∥AD．

再由ABCD为平行四边形，∴NP∥BC，BC⊂面SBC，NP不在平面SBC内，∴NP∥平面SBC．

∴平面MNP∥平面SBC，而 MN⊂平面MNP∴MN∥平面SBC．

证明：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点，又因为E为PD的中点，故OE是三角形DPB的中位线，所以OE∥PB．

因为OE⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以OE∥平面PBC．…（7分）

（2）因为PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．

在正方形ABCD中，AC⊥BD．又因为BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，且BD∩PD=D，所以AC⊥平面PBD．

又因为AC⊂平面ACE，所以，平面ACE⊥平面PBD．   …（14分）

证明：（I）三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，

可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，

所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，

DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD

（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，

又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，

∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，

∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；

（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，

∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，

BG⊥A1D，

∴BG⊥面A1CD，

则∠BCG为所求的角，

设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，

在直角△BGC中，sin∠BCG==，

∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．