- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
正确答案
证明：∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BC．
∵AB⊥BC，且SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥SC，
同理AF⊥SC，
∵AE∩EF=E，
∴SC⊥平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴EF⊥SC．
解析
证明：∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BC．
∵AB⊥BC，且SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥SC，
同理AF⊥SC，
∵AE∩EF=E，
∴SC⊥平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴EF⊥SC．
教室内有一把直尺，无论这把直尺怎样放置，在教室的地面上总能画出一条直线，使这条直线与直尺（ ）
正确答案
解析
解：由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直
若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直
综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直
故选：B．
已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵直线a∥平面α，直线b⊂α，
∴a与b的位置关系是平行或异面．
故选：D．
（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；
（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1．
正确答案
所以BC∥B1C1，
因为BC⊄∥平面AB1C1，
B1C1⊂平面AB1C1，
所以BC∥平面AB1C1；
（Ⅱ）连接BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，
因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，
平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，
AB⊂平面ABB1A1，
所以AB⊥平面BB1C1C；
又因为B1C⊂平面BB1C1C，
所以AB⊥B1C；
在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C；
因为BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，且BC1∩AB=B，
所以B1C⊥平面ABC1；
因为AC1⊂平面ABC1，
所以B1C⊥AC1．
解析
所以BC∥B1C1，
因为BC⊄∥平面AB1C1，
B1C1⊂平面AB1C1，
所以BC∥平面AB1C1；
（Ⅱ）连接BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，
因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，
平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，
AB⊂平面ABB1A1，
所以AB⊥平面BB1C1C；
又因为B1C⊂平面BB1C1C，
所以AB⊥B1C；
在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C；
因为BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，且BC1∩AB=B，
所以B1C⊥平面ABC1；
因为AC1⊂平面ABC1，
所以B1C⊥AC1．
已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（ ）
正确答案
解析
解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；
若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；
若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则 m∥n．
故选B．
设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=
正确答案
解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l‘，l'∩m=K
作BQ⊥α，CR⊥α，垂足分别为Q、R，则Q、R∈l'，且AP=BQ=CR=d，d为异面直线l、m的距离
连接PD、QE、RF，则由三垂线定理逆定理，得
∵AD⊥m，BE⊥m，CF⊥m，PD、QE、RF分别为AD、BE、CF在α内的射影
∴PD、QE、RF都与直线m垂直，
∴PD=
当D、E、F在K的同侧时，2QE=PD+RF
∴
当D、E、F在K的两侧时，2QE=PD-RF
∴
综上所述，得异面直线l、m的距离d=
解析
解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l‘，l'∩m=K
作BQ⊥α，CR⊥α，垂足分别为Q、R，则Q、R∈l'，且AP=BQ=CR=d，d为异面直线l、m的距离
连接PD、QE、RF，则由三垂线定理逆定理，得
∵AD⊥m，BE⊥m，CF⊥m，PD、QE、RF分别为AD、BE、CF在α内的射影
∴PD、QE、RF都与直线m垂直，
∴PD=
当D、E、F在K的同侧时，2QE=PD+RF
∴
当D、E、F在K的两侧时，2QE=PD-RF
∴
综上所述，得异面直线l、m的距离d=
已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的______条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）．
正确答案
充分不必要
解析
解：先看充分性
∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，
∴两腰BC、AD所在直线是相交直线．
∵l垂直于两腰AD，BC
∴l⊥平面ABCD
又∵AB，DC是平面ABCD内的直线，
∴l垂直于两底AB，DC，因此充分性成立；
再看必要性
作出梯形ABCD的高AE，则AE垂直于两底AB，DC，设AE所在直线为l，
∵l垂直于两底AB，DC，且l是平面ABCD内的直线，
∴l与梯形ABCD的两腰不垂直，因此必要性不成立．
故答案为：充分不必要．
若l∩α=A，b⊂α，则1与b的位置关系为______．
正确答案
相交或异面
解析
解：∵l∩α=A，b⊂α，
∴A∈b，l与b相交；A∉b，l与b异面，
∴l与b相交或异面．
故答案为：相交或异面．
正确答案
解析
解：因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；
易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；
连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；
故选D．
若l1、l2为异面直线，直线l3∥l1，则l3与l2的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵l1、l2为异面直线，
∴直线l1、l2所成角为锐角或直角
∵l3∥l1，
∴直线l3与l2的所成角为锐角或直角
由此可得：l3与l2不平行，即直线l3与l2的位置关系为相交或异面
故选：D
正确答案
根据三角形中位线定理，EK∥AB，
∵AB不在面EFK中，∴AB∥面EKF
∵EK∥AB，
∴a与EF异面．
解析
根据三角形中位线定理，EK∥AB，
∵AB不在面EFK中，∴AB∥面EKF
∵EK∥AB，
∴a与EF异面．
正确答案
解析
解：∵棱AA1垂直于上、下两个底面
∴根据线面垂直的性质，可知棱AA1垂直于上、下两个底面中的所有直线，即8条直线
故选C．
直线a′⊂平面α，直线b′⊂平面α，且a′∥b′，其中a′，b′分别是直线a和直线b在平面α上的正投影，则直线a与直线b的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：当直线a与直线b异面，α与a，b的公垂线平行，但与a，b均不垂直时，a‘∥b'，满足条件；
当直线a与直线b平行，但α与a，b均不垂直时，a'∥b'，满足条件；
当直线a与直线b相交时，a'与b'相交或重合，不满足条件；
故直线a与直线b的位置关系是：平行或异面
故选A．
下列说法正确的个数是（ ）
①平行于同一直线的两条直线平行
②平行于同一平面的两个平面平行
③两条平行线中的一条和一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行．
正确答案
解析
解：对于命题①关键平行线的传递性得到命题正确；
②根据面面平行的性质和判断可得命题正确；
③两条平行线中的一条和一个平面平行，另一条有可能在这个平面内，所以命题错误；
④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，这条直线也可能在另一平面内，所以命题错误；
所以正确命题的个数为2；
故选B．
空间一个平面内有5个点，另一个平面内有4个点，任两点间连线，这些直线彼此成为异面直线的有______对．
正确答案
360
解析
解：从平面A中取1个点，同时在平面B中任取3个点：C
从A中取2个点，B在取2个点：C
从A中取3个点，从B中取1个点：C
所以从空间一个平面内有5个点，另一个平面内有4个点，可以作120个四面体．
每一个四面体都有3对异面直线，所以共有120×3=360对异面直线．
故答案为：360．
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