- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；
（Ⅱ）MN⊥AC．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，
∴MP∥BD，NP∥DD1，
∴平面MNP∥平面BDD1B1；
（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD1，又DD1⊥底面ABCD，
∴NP⊥底面ABCD，
∴MN在底面ABCD的射影为MP，
∵M，N是AB，A1D1的中点，
∴MP∥BD，又BD⊥AC，
∴MP⊥AC，
∴MN⊥AC．
解析
证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，
∴MP∥BD，NP∥DD1，
∴平面MNP∥平面BDD1B1；
（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD1，又DD1⊥底面ABCD，
∴NP⊥底面ABCD，
∴MN在底面ABCD的射影为MP，
∵M，N是AB，A1D1的中点，
∴MP∥BD，又BD⊥AC，
∴MP⊥AC，
∴MN⊥AC．
三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
②设作a′⊥γ，a′是过a直线上一点O的直线，
∵α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a，
∴a′⊂α，a′⊂β，
∴a′=α∩β，
∵α∩β=a，而2个平面的交线只有一条，
∴a与a′重合，
故a⊥γ，故答案B是 正确的命题．
③当a∥b时，C命题不正确；
④当α，β，γ两两相交于同一条直线a时，
也存在α∩β=a，c⊂γ，c∥α，c∥β，这种情况，故D命题不正确，
故选：B
正确答案
解：直线AB与CD的位置关系是垂直．
证明：∵α∩β=AB，∴AB⊂α，AB⊂β．
∵PC⊥α，∴PC⊥AB．
∵PD⊥β，∴PD⊥AB．
又PC∩PD=P
∴AB⊥平面PDC
∴AB⊥CD．
解析
解：直线AB与CD的位置关系是垂直．
证明：∵α∩β=AB，∴AB⊂α，AB⊂β．
∵PC⊥α，∴PC⊥AB．
∵PD⊥β，∴PD⊥AB．
又PC∩PD=P
∴AB⊥平面PDC
∴AB⊥CD．
正确答案
解析
解：将已知平面图形还原为正方体，A，B，C，D的对应位置如图
显然它们是异面直线；
故选：C．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．
正确答案
又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD（2分）
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD（4分）
（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC⊂平面PBC，∴DC⊥PC
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角（6分）
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°（8分）
（3）证明：取PA，PB的中点M，N，连接CN
∵PC=BC，∴CN⊥PB①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC（10分）
∵AB⊂平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB，CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD
MN=
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM⊆平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）
方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz（2分）
（1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2
在等边三角形PBC中，
∴
∴
∵
∴
（2）解：取PC中点N，则
∵
∴
∴
∴
∴
（3）证明：取PA的中点M，连接DM，则M的坐标为
又
∴
∴
∴DM⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．
解析
又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD（2分）
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD（4分）
（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC⊂平面PBC，∴DC⊥PC
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角（6分）
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°（8分）
（3）证明：取PA，PB的中点M，N，连接CN
∵PC=BC，∴CN⊥PB①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC（10分）
∵AB⊂平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB，CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD
MN=
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM⊆平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）
方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz（2分）
（1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2
在等边三角形PBC中，
∴
∴
∵
∴
（2）解：取PC中点N，则
∵
∴
∴
∴
∴
（3）证明：取PA的中点M，连接DM，则M的坐标为
又
∴
∴
∴DM⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．
（2014秋•合肥校级月考）已知平面α∥平面β，直线a∥α，直线b∥β，那么a与b的关系必定是（ ）
正确答案
解析
解：∵平面α∥平面β，直线a∥α，直线b∥β，
∴a与b共面时，平行或相交；异面时都成立．
故选：D．
已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：
（1）一条直线；
（2）一个平面；
（3）一个点；
（4）空集．
其中正确的是______．
正确答案
（1）（2）（4）
解析
解：（1）正确，直线m、n所在平面α内，则符合题意的点为直线m、n的对称轴；
（2）正确，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线在平面α同侧，则平面α为符合题意的点；
（4）正确，当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；
故答案：（1）（2）（4）
若直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β=直线b，则（ ）
正确答案
解析
解：过直线a作平面γ，使得γ∩α=c
∵直线a∥平面α，a⊂γ，γ∩α=c
∴a∥c
同理过直线a作平面γ′，使得γ′∩β=d
∵直线a∥平面β，a⊂γ′，γ′∩β=d
∴a∥d
∴c∥d
∵c⊂α，d⊂β
∴c∥β
∵c⊂α，α∩β=直线b
∴c∥b
∵a∥c
∴a∥b
故选B．
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AD共面又与BB1共面的棱的条数是______．
正确答案
5
解析
故答案为：5．
关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；
若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故B错误；
当n∥β且α∥β时，存在直线l⊂α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；
若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n⊂α，若m∥α，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；
故选C
α是一个平面，a是一条直线，则α内至少有一条直线与a（ ）
正确答案
解析
解：A选项是正确的，若a⊥α，成立，显然存在直线在面内且与直线a垂直，若a⊂α，可找以面内的线与a垂直，若a∥α，亦有面内线与其垂直，若线面斜交，则可作出斜线在面内的射影，由三垂线定理知，与射影垂直的线即与a垂直，故A正确．
B选项是错误的，若a∥α，由面内无线与其相交
C选项是错误的，若a⊂α则面内的线与其都是共面的
D选项是错误的，若a⊥α，则面内不存在直线与其平行，
故选A．
若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（ ）
正确答案
解析
解：根据直线平行的性质可知，
若a⊥b，b∥c，则a垂直c，
a与c可能相交，也可能异面，
∴D正确．
故选：D．
若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，
故选D．
正确答案
∵MN⊥平面A′DC，CD⊂平面A′DC
∴MN⊥CD，
∵在正方体ABCD-A′B′C′D′中，N是A1C的中点，O是AC的中点，
∴NO⊥CD，
∵MN∩NO=N，
∴CD⊥平面MNO，
∴CD⊥OM，CD∥AB
∴AB⊥OM，
∴OM∥AD，
又∵在正方体ABCD-A′B′C′D′中，N是A′C的中点，
∴N在BD′上，且为中点，
∴△AD′B中，MN∥AD′．
解析
∵MN⊥平面A′DC，CD⊂平面A′DC
∴MN⊥CD，
∵在正方体ABCD-A′B′C′D′中，N是A1C的中点，O是AC的中点，
∴NO⊥CD，
∵MN∩NO=N，
∴CD⊥平面MNO，
∴CD⊥OM，CD∥AB
∴AB⊥OM，
∴OM∥AD，
又∵在正方体ABCD-A′B′C′D′中，N是A′C的中点，
∴N在BD′上，且为中点，
∴△AD′B中，MN∥AD′．
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：l必须垂直于α内的两条相交直线，才能l⊥α，故A错误；
B中，若l∥α，l∥m，则m∥α或m⊂α，故B错误；
C中，若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故C正确；
D中，若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α；
故选：C
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