- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵直线a∥平面α，直线b在平面α内，
∴a∥b，或a与b异面，
故答案为：平行或异面，
设a、b、c表示直线，给出四个论断：①a⊥b②b⊥c③a⊥c④a∥c，以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题______．
正确答案
①④⇒②
解析
解：①a⊥b④a∥c⇒②b⊥c；
故答案为：①④⇒②．
已知直线a和平面α，β，α∩β=l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：由题意，若a∥l，则利用线面平行的判定，可知a∥α，a∥β，从而a在α，β内的射影直线b和c平行；
若a∩l=A，则a在α，β内的射影直线b和c相交于点A；
若a∩α=B，a∩β=C，且直线a和l垂直，则a在α，β内的射影直线b和c相交；否则直线b和c异面
综上所述，b和c的位置关系是相交﹑平行或异面
故选D．
已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；
②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β
④若m∥l，则α⊥β
其中正确的命题的序号是______．
（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．
正确答案
①④
解析
解：m⊥α，l⊂β，对于①α∥β，则m⊥β，根据线面垂直的性质得到m⊥l，故①正确；
对于②，α⊥β，m与l可能相交、平行或者异面；故②错误；
对于③，m⊥l，α与β可能相交，故③错误；
对于④，m∥l，由已知得到l⊥α，根据线面垂直的判定定理，得到α⊥β；故④正确；
故答案为：①④
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A．由图形可看出A1C1与AD异面，∴该选项错误；
B．C1D1∥AB，∴该选项错误；
如图，
C．AB∥CD；
∴∠C1AB为异面直线AC1与CD所成角；
连接BC1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥BC1；
AB≠BC1；
∴∠C1AB≠45°，∴该选项错误；
D．连接AC，AB1；
AC∥A1C1；
∴∠B1CA是异面直线A1C1与B1C所成角，并且△ACB1为等边三角形；
∴∠B1CA=60°，∴该选项正确．
故选：D．
平面α∩β=c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是______．
正确答案
异面
解析
解：若a∥c，结合a∥α可得a∥β或a⊂β，这与a与β相交矛盾；
若a∩c=P，则a与α有公共点P，与a∥α矛盾；
又因为空间中两直线的位置共平行、相交、异面三种，
故a与c的位置关系只能是异面，
故答案为：异面
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，则异面直线BB1与A1C的距离是______．
正确答案
解析
则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1，
∴△A1B1C1为正三角形，D为A1C1的中点，B1D⊥A1C1．
又AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥B1D，
∴B1D⊥平面AA1C1C1，
∴B1D⊥A1C，
故B1D为AC1和BB1的公垂线，
∴B1D=
故答案为：
将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB、CD在原正方体中的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：将正方体还原得到
因为几何体是正方体，所以连接AC，得到三角形ABC是等边三角形，所以∠ABC=60°；
故选：C．
与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）
正确答案
解析
并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，
因为
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，
则PF是点P到直线A1D1的距离．
所以PF=
同理点P到直线AB、CC1的距离也是
所以B1D上任一点与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．
故选D．
若a∥α，b∥α，则a、b的关系是______．
正确答案
平行、相交或异面
解析
解：∵a∥α，b∥α，
∴当a，b共面时，满足a∥b或a，b相交，
当a，b不共面时，a和b为异面直线，
∴a和b的关系是平行、相交或异面．
故答案为：平行、相交或异面．
（Ⅰ）证明：EF⊥BD1；
（Ⅱ）求四面体D1-BDE的体积．
正确答案
∴
∴EB=ED1．又F为BD1中点，
∴EF⊥BD1． …（4分）
（Ⅱ）解：由于
又因为
∴
故四面体D1-BDE的体积为
解析
∴
∴EB=ED1．又F为BD1中点，
∴EF⊥BD1． …（4分）
（Ⅱ）解：由于
又因为
∴
故四面体D1-BDE的体积为
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面都有可能，故不正确；
两个平面平行，两个平面中的直线平行或异面，故不正确；
面面垂直，只有一个平面中垂直于交线的直线垂直于另一平面，故不正确；
利用面面垂直的判定定理，可知D正确．
故选：D．
正确答案
解析
解：三棱柱中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，
对于A，CC1与B1E在侧面BCC1B1，又不平行，故相交；A错误；
对于B，A1C1与平面ABB1A1斜交，夹角为60°，故B错误；
对于C，AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1；故C正确；
对于D，A1C1与平面A1EB有公共点A1，所以A1C1与平面A1EB相交；故D错误；
故选C．
（1）证明：BD⊥EF；
（2）P在棱AA1上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求：CF；
（3）多面体AE-BCFB1的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．
正确答案
证明：（1）连接AC，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD，
∵BD⊂ABCD，∴AA1⊥BD（2分），
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C，
∵EF⊂平面AA1C1C，∴BD⊥EF（4分）．
（2）连AC交BD与O，再取AA1中点Q，连QC，
∵EF∥平面PBD，平面PBD∩平面ACEF=PO，
∴EF∥PO；∵AQ=4，AP=2，
∴QC∥PO，∴EF∥QC
又∵AA1∥CC1
∴EFCQ为平行四边形，∴FC=EQ
∵AE+CF=8
∴CF=2（8分）
（3） 多面体AE-BCFB1是四棱锥B1-AEFC和三棱锥B1-ABC的组合体，
由题意，BB1=8，AB=2，BB1三棱锥B1-ABC的高，BO是四棱锥B1-AEFC的高，
∴
解析
证明：（1）连接AC，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD，
∵BD⊂ABCD，∴AA1⊥BD（2分），
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C，
∵EF⊂平面AA1C1C，∴BD⊥EF（4分）．
（2）连AC交BD与O，再取AA1中点Q，连QC，
∵EF∥平面PBD，平面PBD∩平面ACEF=PO，
∴EF∥PO；∵AQ=4，AP=2，
∴QC∥PO，∴EF∥QC
又∵AA1∥CC1
∴EFCQ为平行四边形，∴FC=EQ
∵AE+CF=8
∴CF=2（8分）
（3） 多面体AE-BCFB1是四棱锥B1-AEFC和三棱锥B1-ABC的组合体，
由题意，BB1=8，AB=2，BB1三棱锥B1-ABC的高，BO是四棱锥B1-AEFC的高，
∴
直线a、b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面有多少个，试说明理由．
正确答案
解：有且只有一个；
取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，
由a∩c=A，则直线a、c确定唯一的平面记为α，
∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α有且仅有一个．
假设过直线a与直线b平行的平面有两个或者两个以上，那么与两条相交直线确定一个平面矛盾；
所以过直线a与直线b平行的平面有且只有一．个
解析
解：有且只有一个；
取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，
由a∩c=A，则直线a、c确定唯一的平面记为α，
∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α有且仅有一个．
假设过直线a与直线b平行的平面有两个或者两个以上，那么与两条相交直线确定一个平面矛盾；
所以过直线a与直线b平行的平面有且只有一．个
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