- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
空间中有三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a，c的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：如图，结合正方体模型对本题加以说明：
设直线b是正方体的下底面与向内侧面的交线，直线c是正方体左侧面与下底面的交线（如图），显然满足b⊥c，
①当直线a位于正方体左侧面与向内侧面的交线时，三条直线a、b、c交于同一点，此时直线a，c的位置关系是相交；
②当直线a位于正方体左侧面与上底面的交线时，直线a、c互相平行且都与直线b垂直；
③当直线a位于正方体右侧面与向内侧面的交线时，直线a、c是异面直线且都与直线b垂直．
综上所述，可得直线a，c的位置关系是相交、平行或异面都有可能．
故选D．
在锐二面角α-l-β中，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a，b都与l斜交，则（ ）
正确答案
解析
解：根据题意，设锐二面角α-l-β的平面角为α，则a、b的夹角的取值范围为（α，180°），所以a可能与b垂直．假设a∥b，根据公理4，则a∥b∥l，这与a，b都与l斜交矛盾．故a与b不平行．
故选B．
已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（ ）
正确答案
解析
解：首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
（1）如图1，过二面角α-l-β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角，∠AOB=80°
设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=40°，与平面α，β所成的角都是30°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α-l-β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形．
（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′的平分线，则∠P2OA=∠P2OB=50°，与平面α，β所成的角都是50°．当OP2以O为轴心，在二面角α-l-β′的平分面上转动时，
OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．
综上所述，直线的条数共有4条．
故选：D．
（1）若AC⊥CD，求证：AB⊥BD；
（2）求四面体ABCD的表面积．
正确答案
解：（1）因为AC⊥CD，BC⊥CD，
所以CD⊥平面ABC，
又因为CD⊂平面BCD，
所以平面ABC⊥平面BCD，
因为AB⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以AB⊥平面BCD，
所以AB⊥BD．
（2）当AC⊥CD时，则AB⊥BD，
因为AB=a，BC=b，CD=c，
所以BD=
所以四面体ABCD的表面积S=
当AC与CD不垂直时，则AD⊥CD，否则由（1）知AB⊥BD，可得AC⊥CD（矛盾），
当AD⊥AC时，AB与AD不能垂直，否则AD⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，
因为BC⊥CD，BC⊥平面ACD，
所以BC⊥AC，这与AB⊥BC矛盾，
所以BD⊥AD，从而可得：AD2=a2-b2-c2，…①
由AD⊥AC得，AD2=c2-b2-a2…②
由①②可得：a=c，所以AD2=-b2＜0矛盾．
所以AD⊥CD，从而得到AB⊥AD，
当AD⊥CD时，AD2=a2+b2-c2，
当AB⊥AD时，AD2=b2+c2-a2，
所以a=c，AD=b，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，所以舍去．
所以其表面积为S=
解析
解：（1）因为AC⊥CD，BC⊥CD，
所以CD⊥平面ABC，
又因为CD⊂平面BCD，
所以平面ABC⊥平面BCD，
因为AB⊥BC，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以AB⊥平面BCD，
所以AB⊥BD．
（2）当AC⊥CD时，则AB⊥BD，
因为AB=a，BC=b，CD=c，
所以BD=
所以四面体ABCD的表面积S=
当AC与CD不垂直时，则AD⊥CD，否则由（1）知AB⊥BD，可得AC⊥CD（矛盾），
当AD⊥AC时，AB与AD不能垂直，否则AD⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，
因为BC⊥CD，BC⊥平面ACD，
所以BC⊥AC，这与AB⊥BC矛盾，
所以BD⊥AD，从而可得：AD2=a2-b2-c2，…①
由AD⊥AC得，AD2=c2-b2-a2…②
由①②可得：a=c，所以AD2=-b2＜0矛盾．
所以AD⊥CD，从而得到AB⊥AD，
当AD⊥CD时，AD2=a2+b2-c2，
当AB⊥AD时，AD2=b2+c2-a2，
所以a=c，AD=b，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，所以舍去．
所以其表面积为S=
给出下列命题，其中错误命题的个数为（ ）
（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；
（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．
正确答案
解析
解：对于（1），直线a与平面α不平行，若直线在平面α内，则a与平面α内的无数条直线都平行，故（1）错；
对于（2），直线a与平面α不垂直，若a与平面α平行，则a与平面α内的无数条直线垂直，故（2）错；
对于（3），假设过a的平面与b垂直，即有b垂直于a，与异面直线a、b不垂直矛盾，故（3）对；
对于（4），若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c相交、平行或异面．故（4）错．
综上可得，错误的个数为3．
故选C．
空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：在空间，两条直线的位置关系有：相交、平行和异面；其中两条直线平行或者相交可以确定一个平面，
所以空间中，两条直线若没有交点，则这两条直线的位置关系是平行或者异面；
故选：D．
已知a，b是一对异面直线，且a，b成70°角．P为空间一定点，则在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有______条．
正确答案
4
解析
解：如图所示，
α∥β，a⊂α，b⊂β．
∀P∈β，过点P作a′∥a，则a′⊂β．
过点P可作PA满足与直线a′，b所成角都为70°的直线，其中PA在∠MPN的上方．
同理可以作出其它3条，PB，PC，PD（∵70°+70°＞110°）．
当点P不在其中一条直线上时，可以通过平移两条异面直线即可．
综上可得：在过P点的直线中与a，b所成角都为70°的直线有4条．
故答案为：4．
正确答案
解：EF和DH是异面直线．
∵DH⊂平面PCB，FE∩平面PCB=E，且E∉DH，H∈DH，且H∉FE
∴EF和DH是异面直线
解析
解：EF和DH是异面直线．
∵DH⊂平面PCB，FE∩平面PCB=E，且E∉DH，H∈DH，且H∉FE
∴EF和DH是异面直线
已知两条相交直线a，b及平面α，若a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵a，b是两条相交直线，且a∥α，
∴b∥α，或b与α相交，
∴b在α外．
故选：D．
给出下列命题：
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；
②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；
③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．
其中正确的命题为（ ）
正确答案
解析
解：①错，由异面直线的画法知，c可与a、b都相交但交点不同；
②错，a、c可能相交也可能平行；
③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．
故选C．
（Ⅰ）证明：AB⊥AC1；
（Ⅱ）判断直线MN和平面ACC1A1的位置关系，并加以证明．
正确答案
∵AB⊂平面ABC，∴CC1⊥AB．
∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AC∩CC1=C，
∴AB⊥平面ACC1A1．
又∵AC1⊂平面ACC1A1，∴AB⊥AC1．
（Ⅱ）MN∥平面ACC1A1．
证明如下：设AC的中点为D，连接DN，A1D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN∥AB，DN=
又∵A1M=
∴A1M=∥DN．
∴四边形A1DNM是平行四边形．
∴A1D∥MN．
∵A1D⊂平面ACC1A1，MN∉平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1．
解析
∵AB⊂平面ABC，∴CC1⊥AB．
∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AC∩CC1=C，
∴AB⊥平面ACC1A1．
又∵AC1⊂平面ACC1A1，∴AB⊥AC1．
（Ⅱ）MN∥平面ACC1A1．
证明如下：设AC的中点为D，连接DN，A1D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN∥AB，DN=
又∵A1M=
∴A1M=∥DN．
∴四边形A1DNM是平行四边形．
∴A1D∥MN．
∵A1D⊂平面ACC1A1，MN∉平面ACC1A1，
∴MN∥平面ACC1A1．
在空间，下列命题正确的是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果两条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的一条直线b、c都有垂直，那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面y，那么β⊥y
正确答案
①，④
解析
解：根据公理4，平行于同一条直线的2条直线平行，故①正确．
②线a与平面β内的一条直线b平行，直线a可以在平面β内，故②不正确．
③直线a与平面β内的直线b、c都有垂直，因为b、c不一定是2条相交直线，故不能推出a⊥β，
④若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这2个平面垂直．故④正确．
故只有①④正确．
在底面是正方形的长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN是在平面ACCA
正确答案
平行
解析
解：由长方体的性质知，AA1⊥平面，∴AA1⊥BD，
∵BD⊥AC，AA1∩AC=A，
∴BD⊥平面ACCA
∵在平面ACCA
∴⊥，∴⊥平面，
∵BB1⊥平面
已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故①错误；
若m⊥α，且m⊥n，则n∥α或n⊂α，又由n⊥β，可得α⊥β，故②正确；
若m⊥β，m∥α，则存在直线a⊂α，使m∥a，则a⊥β，则α⊥β，故③正确；
若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β可能平行也可以相交，故④错误．
故正确命题的个数是2个，
故选：B
a，b表示两条直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b故当a⊥b，a⊥α时，可得b⊂α或b∥α，故A不正确；
利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；
若a∥α，a⊥b，则b与α平行、相交、在平面内，故C不正确；
若a∥α，b∥α，则a，b与α没有公共点，但a∥b不一定成立，故D不正确．
故选B．
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