- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
（Ⅰ）求证：PD⊥AD1；
（Ⅱ）当A1P=
（Ⅲ）当A1P=
正确答案
解法一：（I）证明：连接A1D，在正方体AC1中，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴A1D是PD在平面A1ADD1内的射影．（2分）
在正方形A1ADD1中，A1D⊥AD1，PD⊥AD1．（4分）
解：（II）取D1C1中点M，连接PM，CM，则PM∥A1D1．
∵A1D1⊥平面D1DCC1，∴PM⊥平面D1DCC1．
∴CM为CP在平面D1DCC1内的射影．
则∠PCM为CP与平面D1DCC1所成的角．（7分）
在Rt△PCM中，
∴CP与平面D1DCC1所成的角的正弦值为
∵C1C⊄平面D1DP内，D1D⊂平面D1DP，∴C1C∥平面D1DP．
∴点C到平面D1DP的距离与点C1到平面D1DP的距离相等．
∵D1D⊥平面A1B1C1D1，DD1⊂面D1DP，
∴平面D1DP⊥平面A1B1C1D1．
又∵平面D1DP∩平面A1B1C1D1=D1P，
过C1作C1H⊥D1P于H，∴C1H⊥平面D1DP．
∴C1H的长为点C1到平面D1DP的距离．（12分）
连接C1P，并在D1C1上取点Q，使PQ∥B1C1．
在△D1PC1中，C1H•D1P=PQ•D1C1，得
∴点C到平面D1DP的距离为
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz．
由题设知正方体棱长为4，则D（0，0，0）、A（4，0，0）、B1（4，4，4）、
A1（4，0，4）、D1（0，0，4）、C（0，4，0）．（1分）
（I）设P（4，y0，4），∴
∵
∴PD⊥AD1．（4分）
故
∴
∴
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为
（III）∵
∵P（4，3，4）
∴
则
令x=-3，则y=4．
∴n=（-3，4，0）．（12分）
∴点C到平面D1DP的距离为
解析
解法一：（I）证明：连接A1D，在正方体AC1中，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴A1D是PD在平面A1ADD1内的射影．（2分）
在正方形A1ADD1中，A1D⊥AD1，PD⊥AD1．（4分）
解：（II）取D1C1中点M，连接PM，CM，则PM∥A1D1．
∵A1D1⊥平面D1DCC1，∴PM⊥平面D1DCC1．
∴CM为CP在平面D1DCC1内的射影．
则∠PCM为CP与平面D1DCC1所成的角．（7分）
在Rt△PCM中，
∴CP与平面D1DCC1所成的角的正弦值为
∵C1C⊄平面D1DP内，D1D⊂平面D1DP，∴C1C∥平面D1DP．
∴点C到平面D1DP的距离与点C1到平面D1DP的距离相等．
∵D1D⊥平面A1B1C1D1，DD1⊂面D1DP，
∴平面D1DP⊥平面A1B1C1D1．
又∵平面D1DP∩平面A1B1C1D1=D1P，
过C1作C1H⊥D1P于H，∴C1H⊥平面D1DP．
∴C1H的长为点C1到平面D1DP的距离．（12分）
连接C1P，并在D1C1上取点Q，使PQ∥B1C1．
在△D1PC1中，C1H•D1P=PQ•D1C1，得
∴点C到平面D1DP的距离为
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz．
由题设知正方体棱长为4，则D（0，0，0）、A（4，0，0）、B1（4，4，4）、
A1（4，0，4）、D1（0，0，4）、C（0，4，0）．（1分）
（I）设P（4，y0，4），∴
∵
∴PD⊥AD1．（4分）
故
∴
∴
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为
（III）∵
∵P（4，3，4）
∴
则
令x=-3，则y=4．
∴n=（-3，4，0）．（12分）
∴点C到平面D1DP的距离为
直线a∥b，l与a是异面直线，则l与b的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵a，b是两条异面直线，直线l∥a
∴过b任一点可作与a平行的直线l，此时l与b相交．
另外l与b不可能平行，理由如下：
若l∥b则由l∥a可得到a∥b这与a，b是两条异面直线矛盾，故l与b不可能平行，
故当l与b不可能平行时，l与b必定异面．
故选D．
两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：因为线面平行时，直线的位置关系是不确定的，所以同时和平面平行的两条直线可能是相交的，也可能是异面的，也可能是平行的．
故选D．
给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a⊥b，a不平行于c，则c一定不垂直于b；
④若a⊥b，b不垂直于c，则a一定不垂直于c．
其中正确命题的序号是______．（填写所有正确命题的序号）
正确答案
②
解析
解：对于①，若a⊥b，b⊥c，则a与c可能相交；如墙角；故①错误；
对于②，若a∥b，b⊥c，则a与c所成的角与b与c所成的角相等，故②正确；
对于③，若a⊥b，a不平行于c，则c不一定垂直于b是正确的，
对于④，若a⊥b，b不垂直于c，则a不一定垂直于c也是正确的，如图．故④错误；
故答案为：②
分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：根据直线位置关系的定义知，
当两个平面平行时，即两条直线没有公共点，则它们平行或异面；
当两个平面相交且两条直线与交线相交与一点时，则它们相交．
故选D．
若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l与m的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵直线l∥平面α，由线面平行的定义知l与α无公共点，
又直线m在平面α内，
∴l∥m，或l与m异面，
故选D．
已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；
B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；
C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；
D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．
故选D．
正确答案
解析
解：∵M，N分别为VA，VC的中点，
∴MN∥AC，故A错误；
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵MN∥AC，∴MN与BC所成的角为90°，故B错误；
∵∠ACO＜∠ACB=90°，
∴OC与平面VAC不垂直，故C错误；
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵VA⊥⊙O所在的平面，∴VA⊥BC，
∴BC⊥面VAC，∵BC⊂面VBC，
∴平面VAC⊥平面VBC，故D正确．
故选：D．
若a、b是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是（ ）
正确答案
解析
解：若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；
若a∥α，b⊂α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；
若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a∥b
若a⊥α，b⊂α，则由线面垂直的定义可得a⊥b
故选C
当θ是第四象限时，两直线
正确答案
垂直
解析
解：∵直线
直线
∴k1×k2=
又∵θ是第四象限角，sinθ＜0
∴k1×k2=
故答案为：垂直
若直线l⊂平面α，点A∉α，点B∈α，B∉l，则直线AB与l的位置关系是______．
正确答案
异面
解析
解：直线AB与l的位置关系是异面，可以用反证法进行证明：
设直线AB与l共面于β，则
∵点B∈AB，AB⊂β，∴点B∈β
∵点B∉l，且l⊂β，∴平面β是由点B和l确定的平面
由此可得平面β与平面α重合
∵A∈β，∴A∈α，这与题设“点A∉α”矛盾
因此假设不成立，可得直线AB与l异面
故答案为：异面
已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b且直线a⊥c”的（ ）
正确答案
解析
解：∵b，c是平面α内的两条直线，直线a⊥α，∴直线a⊥b且直线a⊥c，即充分性成立；
b，c是平面α内的两条直线，直线a⊥b且直线a⊥c，当b，c相交时，直线a⊥α，即必要性不成立
∴直线a⊥α是直线a⊥b且直线a⊥c的充分不必要条件
故选A．
若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，
又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．
故A、B、C错误．
故选：D．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l有______条．
正确答案
3
解析
解：
因为∠CAD1=60°，∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD1内有一条满足要求．
因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，
将角平分线绕点A向上转动到与面ACD1垂直的过程中，存在两条直线与直线AC和AD1所成的角都等于 60°；
故符合条件的直线有3条．
故答案为：3．
设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则m∥α的一个充分条件是（ ）
正确答案
解析
解：A：若α∥β且m⊂β则由面面平行的性质定理可得m∥α，反之不成立．故A正确．
B：若α∩β=n且m∥n则由线面的位置关系可得直线m可能与平面α平行也有可能在平面α内，所以B错误．
C：若α⊥β且m⊥β由线面的位置关系可得m∥α或者m⊂α，所以不具有充分性，所以C错误．
D：若m∥n且n∥α则由线面的位置关系可得m∥α或者m⊂α，所以不具有充分性，所以D错误．
故选A．
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