- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A、B，∵如图，由图可知A，B不正确；
∵直线l⊥平面α，l∥β，∴α⊥β，
对于C，∵m⊂平面β，∴m与α不一定垂直，C不正确．
对于D，∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，D正确；
故选：D．
异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
正确答案
解析
解：∵异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，α∩β=l，
∴a与l共面，b与l共面，
a可以与l平行或相交，b可以与l平行或相交，
但是一定不能同时平行，若两条直线与l同时平行，
则a，b平行，与两条直线是异面直线矛盾，
∴l至少与a，b中的一条相交，
故选B．
设a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β则α⊥β．
其中正确的命题是______（请把所有正确命题的序号都填上）．
正确答案
①③④
解析
解：①根平面的法向量垂直的直线平行或在平面内，所以正确
②若a∥α，α⊥β，则a有可能平行与平面β，故不正确
③若a⊥β，α⊥β，则a平行于α或a在平面α内，故正确
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，即两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直，故正确
故答案为①③④
如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：AB⊥BC．
正确答案
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC，
又∵BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC，
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PA，
又∵AD∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，
又∵AB⊂平面PAB，
∴BC⊥AB
解析
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC，
又∵BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC，
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PA，
又∵AD∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，
又∵AB⊂平面PAB，
∴BC⊥AB
正确答案
解析
解：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1
所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）
所以 
所以 
所以BD1与A1D和AC都垂直
又∵EF是AC、A1D的公垂线，
∴BD1∥EF
故选D
正确答案
解析
解：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1
所以就有D1（0，0，0），B（1，1，1），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）
所以
所以
所以BD1与A1D和AC都垂直
又∵EF是AC、A1D的公垂线，
∴BD1∥EF
故选B
正确答案
证明：PA⊥正方ABCD所在平面，
则PA⊥BC，
又正方形ABCD中，BC⊥AB，
则BC⊥平面PAB，且AE⊂平面PAB，
则BC⊥AE，
又PC⊥平面AEFG，
则PC⊥AE，
则AE⊥平面PBC，
则有AE⊥PB．
解析
证明：PA⊥正方ABCD所在平面，
则PA⊥BC，
又正方形ABCD中，BC⊥AB，
则BC⊥平面PAB，且AE⊂平面PAB，
则BC⊥AE，
又PC⊥平面AEFG，
则PC⊥AE，
则AE⊥平面PBC，
则有AE⊥PB．
垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
正确答案
解析
解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：如图所示：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
取棱AA1为直线l，则l⊥AB，l⊥CD．
①若取棱D1D为直线m，则m⊥AD，m⊥BC，满足条件，此时m∥l；
②过点A作AM⊥BC，∵AD∥BC，∴AM⊥AD，取直线AM为m，则满足条件，此时l与m相交；
③过线段AD上除去点A以外的点E作EF∥AM，则EF⊥AD，EF⊥BC，取EF为直线m，则满足条件，此时l与m为异面直线．
综上可知：l与m的位置关系是平行、相交或异面直线，因此其位置关系不确定．
故选D．
（1）证明：直线BE∥平面PAD；
（2）若直线BE⊥平面PCD．
①求PA的长；
②求异面直线PD与BC所成角的余弦值．
正确答案
∴
又BE⊄平面PAD，
∴直线BE∥平面PAD．…（7分）
（2）解：①∵直线BE⊥平面PCD，
∴BE⊥PC，即
又
∴
即b=2，∴PA的长为2．…（10分）
②
∴cos＜
∴异面直线PD与BC所成角的余弦值为
解析
∴
又BE⊄平面PAD，
∴直线BE∥平面PAD．…（7分）
（2）解：①∵直线BE⊥平面PCD，
∴BE⊥PC，即
又
∴
即b=2，∴PA的长为2．…（10分）
②
∴cos＜
∴异面直线PD与BC所成角的余弦值为
（2015秋•南城县校级期中）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
正确答案
解析
所以EF与BB1垂直；
又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．
故选：D．
没有公共点的两条直线a、b与平面 α 所成角都相等，则直线a、b的位置关系是______．
正确答案
平行或异面
解析
解：∵直线a，b平行时，它们与平面 α 所成角必定相等，∴直线a、b可以为平行直线．
当直线a，b是异面直线时，如图，，过a上的一点A作b的平行线b′，
则当∠E=∠F时，直线a与b
∵b∥b′，∴直线b，b′与平面α所成角相等，
∴直线a，b是异面直线时，也可以与平面α所成角相等，
∴直线a、b的位置关系是平行或异面．
故答案为：平行或异面
设空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，下列命题中真命题是（ ）
正确答案
解析
解：若bd不平行过d上一点，作b′∥b，则
∵b⊥c，c⊥d，∴c垂直d与b′确定的平面，
∵a⊥b，d⊥a，∴a也垂直d与b′确定的平面，
则a∥c
同时，当a，c不平行时，b∥d
故选C
用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（ ）
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；
④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．
正确答案
解析
解：根据平行直线的传递性可知①正确；
在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；
③中a、b还可以相交；
④是真命题，
故答案应选：C
AC′是正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线，选取正方体的某三条棱的中点M，N，P组成三角形，使△MNP所在的平面垂直于AC′．满足上述条件的不同的△MNP一共有______个．
正确答案
3
解析
解：由题意，连结DB，AC，
∵M，N分别为中点，
∴MN∥BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵AA′⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴AA′⊥BD，
∵AA′∩AC=A，
∴BD⊥平面AC′，
∴BD⊥AC′，
∵MN∥BD，
∴AC′⊥MN，
同理可证AC′⊥MF，AC′⊥NF，
∵MF∩NF=F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，
∴AC′⊥平面MNF，故①正确．
④中由①中证明可知AC′⊥MP，
∵MN∥BD，BD⊥AC′，
∴AC′⊥MN，
∴AC′⊥平面MNP，
同理可证明⑤中AC′⊥平面MNP，
∴满足上述条件的不同的△MNP一共有3个．
故答案为：3．
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