- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
如图，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B=A1D，AB=AD．
求证：
（1）AA1⊥BD；
（2）BB1∥DD1．
正确答案
（1）取BD中点E，连接AE、A1E
∵△ABD中，AB=AD，E为BD中点
∴AE⊥BD，同理可得A1E⊥BD，
∵AE、A1E⊂平面A1AE，AE∩A1E=E
∴BD⊥平面A1AE，
∵AA1⊂平面A1AE，∴AA1⊥BD；
（2）∵AA1∥CC1，AA1⊂平面AA1B1B，CC1⊄平面AA1B1B，
∴CC1∥平面AA1B1B
∵CC1⊂平面CC1B1B，平面CC1B1B∩平面AA1B1B=BB1
∴BB1∥CC1，同理可得DD1∥CC1，
∴BB1∥DD1．
已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
正确答案
证明：在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点
∴EH∥BD，EH=
同理，FG∥BD，FG=
∴EH∥FG，EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l______．
①平行②相交③垂直④互为异面直线．
正确答案
①若直线l⊂平面α，则平面α内的直线m与l，可能平行也可能相交（包括垂直）；
②若直线l∩平面α=A，则平面α内的直线m与l，可能异面也可能相交（包括垂直）；
③若直线l∥平面α，则平面α内的直线m与l，可能平行也可能异面（包括垂直）；
故①②④均错误，只有③正确
故答案为：③
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1⊥A1C．有下列条件：
①AB=AC=BC；②AB⊥AC；③AB=AC．其中能成为BC1⊥AB1的充要条件的是（填上该条件的序号）______．
正确答案
若①AB=AC=BC，如图取M，N分别是B1C1，BC的中点，可得AM⊥BC，A1N⊥B1C1，由直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得AM，A1N都垂直于侧面B1C1BC，
由此知AM，A1N都垂直于线BC1，又BC1⊥A1C．结合图形知BC1⊥CN
又由M，N是中点及直三棱柱的性质知B1M∥CN，故可得BC1⊥B1M，
再结合AM垂直于线BC1，及图形知BC1⊥面AMB1，
故有BC1⊥AB1，
故①能成为BC1⊥AB1的充要条件
同理③也可
对于条件②，其不能证得BC1⊥AB1，故不为BC1⊥AB1的充要条件
综上①③符合题意
故答案为①③
过直线外一点与这条直线平行的直线有______条．
过直线外一点与这条直线平行的平面有______ 个．
正确答案
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
而过直线外一点，可作无数个平面与已知直线平行，
故答案为：1；无数
如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD⊥CD，且2AB=AD=CD=2．四边形ADEF为正方形，且平面ADEF⊥平面ABCD．连FC，M为FC中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：FC⊥AE；
（3）求三棱锥F-BDM的体积．
正确答案
证明：（1）设FD∩AE=O，连MO．
∵M、O分别为FC、FD的中点，
∴OM
又∵AB
∴AB
∴四边形ABMO为平行四边形．
∴BM∥AO，
∵AO⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．…4分
（2）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADEF．…6分
∴CD⊥AE，
在正方形ABCD中，FD⊥AE，
∴AE⊥平面CDF，
又∵AE⊂平面CDF，
∴FC⊥AE．…9分
（3）∵平面ADEF⊥平面ADCB，且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD，
∴点F到平面ABCD距离为FA=2
又∵M为FC中点，
∴点M到平面ABCD距离为
∴VF-ABCD=
∴VF-BDM=VF-ABCD-VF-ABD-VM-BCD=2-
如图，正三棱锥ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=
（I）求证：PA1⊥B1C1；
（II）求证：PB1∥平面AC1D；
（III）求多面体PA1B1DAC1的体积．
正确答案
证明：（I）取B1C1的中点Q，连A1Q，PQ
∵PB1=PC1，A1B1=A1C1，
∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ
∵A1Q∩PQ=Q
∴B1C1⊥平面A1PQ，∵PA1⊂平面A1PQ
∴PA1⊥B1C1；
（II）连BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=
∵BB1=AA1=1
∴BB1=PQ
在平面PBB1CC1中，BB1⊥B1C1，PQ⊥B1C1∴BB1∥PQ
∴四边形BB1PQ为平行四边形
∴PB1∥BQ
∵BQ∥DC1
∴PB1∥DC1
∴PB1∥平面AC1D；
（III）三棱锥P-A1B1C1的体积为
多面体ABD-A1B1C1的体积为
∴多面体PA1B1DAC1的体积为
如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，AD=DC=
（1）求证：PA⊥BC
（2）试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．
正确答案
（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，
在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，
AD=DC，所以四边形ADCE是正方形．
所以∠ACD=∠ACE=45°
因为AE=CD=
所以∠BCE═45°
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°
所以AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC
所以BC⊥平面PAC，而PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．（7分）
（2）当M为PB中点时，CM∥平面PAD，（8分）
证明：取AP中点为F，连接CM，FM，DF．则FM∥AB，FM=
因为CD∥AB，CD=
所以四边形CDFM为平行四边形，所以CM∥DF，（11分）
因为DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，所以，CM∥平面PAD．（13分）
设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是______．
①若b⊂α，c∥α，则b∥c ②若b⊂α，b∥c，则c∥α
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β
正确答案
①中，没强调b为交线，则b，c亦可能异面；
②中，没强调c为平面外的直线，也可能是c⊂α；
③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c⊂β；
④中，由面面垂直的判定定理可知正确．
答案：④
如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．
正确答案
证明：（1）因为BM⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
所以BM⊥AE．（2分）
因为AE⊥BE，且BE∩BM=B，BE、BM⊂平面EBC，
所以AE⊥平面EBC．（4分）
因为BC⊂平面EBC，
所以AE⊥BC．（6分）
（2）取DE中点H，连接MH、AH．
因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，
所以BM⊥EC．
因为BE=BC，
所以M为CE的中点．（8分）
所以MH为△EDC的中位线．
所以MH∥
因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，且DC=AB．
故MH∥
因为N为AB中点，
所以MH∥AN，且MH=AN．
所以四边形ANMH为平行四边形，
所以MN∥AH．（12分）
因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，
所以MN∥平面ADE．（14分）
已知a、b、c是直线，α是平面，给出下列命题：
①若a∥b，b⊥c，则a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a∥α，b⊂α，则a∥b；④若a⊥α，b⊂α，则a⊥b；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直．
其中真命题是______．（把符合条件的序号都填上）
正确答案
①作为结论应用，正确；②a、c可能异面，不正确；③a、b也可能异面，不正确；
④线面垂直的性质，正确．⑤不是至多而是有无数条直线与之垂直，不正确．
故答案为：①④
若平面α外两直线a，b在α上的射影是两相交直线，则a与b的位置关系是______．
正确答案
如果两直线a，b相交，此时两条相交直线的投影可能为两相交直线，
如果两直线a，b异面，此时两条异面直线的投影可能为两相交直线，
如果两直线a，b平行，此时两条平行直线的投影不可能为两相交直线，此时两条平行直线的投影为两条平行直线或一条直线或两点．
故答案为：相交或异面．
已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题的序号是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
正确答案
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；正确性无法判断，直线n在与交线m垂直的平面上，故位置关系不确定．
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；正确，由面面平行的性质定理可证得．
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；不正确，任意一条直线都可以在平面内有无数条与之垂直的直线．
④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．正确，由线面平行的判定定理知线n与两平面都是平行的．
故应填②④．
空间三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a、c的位置关系是______．
正确答案
由题意，可利用正方体图形．
若a⊥b，b⊥c，则若a，b，c共面时，a∥b
若a，b，c不共面时，相交或异面皆有可能
故答案为：相交、平行、异面
已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n
其中不正确的命题的个数是______．
正确答案
由线面垂直的第二判定定理我们易得①正确；
由面面平行的判定方法，我们易得到②为真命题；
∵m⊥α，m∥n∴n⊥α，又由n⊂β，则α⊥β，即③也为真命题．
若m∥α，α∩β=n，则m与n可能平行也可相交，也可能异面，故④为假命题，
故答案为：1
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