- 复数相等的充要条件
- 共210题
如果方程（1+i）x2-2（a+i）x+5-3i=0（a∈R）有实数解，求a的值．
正确答案
设方程的实根为x0，则方程（1+i）x2-2（a+i）x+5-3i=0可化为
(
由复数相等的充要条件可得
由②得x0=3或-1，代入①得a=
∴a=
证明在复数范围内，方程|z|2+(1-i)
正确答案
证明：设这个方程有复数根为z=x+yi（x，y∈R），
则应有x2+y2+(1-i)(x-yi)-(1+i)(x+yi)=
化简得x2+y2-2（x+y）i=1-3i
根据复数相等得
由式（2）得y=
将其代入式（1）得，2x2-3x+
∵△=(-3)2-4×2×
∴式（3）无实根，即x不是实数与假设矛盾
所以方程|z|2+(1-i)
已知复数z=（1-i）2+1+3i．
（1）求z及|z|；
（2）若z2+az+b=1-i，求实数a，b的值．
正确答案
（1）z=-2i-1-3i=1-i
|z|=
（2）∵z2+az+b=1-i，
∴（1-i）2-a（1-i）-b=1-i
∴a-b-（2-a）i=1-i
∴a=-3，b=4
已知复数z1=m+（4-m2）i（m∈R），z2=2cos θ+（λ+3sin θ）i （λ∈R），若
正确答案
解：因为
所以m+（4 -m2）i=2cos θ+（λ+3sin θ）i，
由复数相等的条件得
所以λ=4-m2-3sinθ
=
因为-1≤sinθ≤1．所以当
当sinθ=-1时，λmax=7，所以
已知关于t的一元二次方程t2+（2+i）t+2xy+（x-y）i=0 （x，y∈R）。
（1）当方程有实根时，求点（x，y）的轨迹方程；
（2）若方程有实根，求实根的取值范围。
正确答案
解：（1）设实根为t，则 t2+（2+i）t+2xy+（x-y）i=0，
即（t2+2t+2xy）+（t+x-y）i=0，
根据复数相等的充要条件得
由②得t=y-x，
代入①得（y-x）2+2（y-x）+2xy =0，
即（x-1）2+（y+1）2=2，③
∴所求点的轨迹方程为（x-1）2+（y+1）2=2，
轨迹是以（1，-1）为圆心，
（2）由③得圆心为（1，-1），半径
则
即|t+2|≤2，
∴-4≤t≤0，
故方程的实根的取值范围为[-4，0]。
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