- 指数函数及其性质
- 共414题
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立。
（1）函数f（x）= x 是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M ，求实数k的取值范围。
正确答案
解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx
因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，
所以f（x）=
（2）因为函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：
显然x=0不是方程ax=x的解，
所以存在非零常数T，使aT=T
于是对于f（x）=ax有
故f（x）=ax∈M。
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，
所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx
因为k≠0，且x∈R，
所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，
只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx 成立，则k=2mπ，m∈Z
当T=-1时，sin（kx-k）=-sinkx成立，即sin（kx-k+π）=sinkx 成立，
则-k+π=2mπ，m∈Z ，即k=-2（m-1）π，m∈Z
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}。
如图，是函数y=(
给出如下两个命题：
①当x＜x1时，(
②当x＞x2时，(
（1）举出一个反例，说明命题①是假命题；
（2）利用基本函数的单调性，说明命题②是真命题．
正确答案
（1）可以举反例：取x=-10，则x＜x1，
但(
（2）∵函数y=(
∴当x＞x2时，(
下列说法：
①当x＞0且x≠1时，有lnx+
②△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；
③函数y=ax的图象可以由函数y=2ax（其中a＞0且a≠1）平移得到；
④已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3．；
⑤函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题的序号为______．
正确答案
当x＞0且x≠1时，有lnx+
故当x＞0且x≠1时，有lnx+
由正弦定理，易得：△ABC中，A＞B等价于sinA＞sinB，故②正确；
函数y=ax的图象可以由函数y=2ax=ax+loga2（其中a＞0且a≠1）向左平移loga2个单位得到，故③正确；
若Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＞S5，说明若a4＞a3，即公差d＞0，则a5＞a2，即S9＞S3，故④正确；
函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于Y轴对称，故⑤错误；
故答案为：②③④
以下四个命题
①定义在R上的函数f（x）满足f（2）＜f（3），则函数f（x）在R上不是单调减函数．
②若A={1，4}，B={1，-1，2，-2}，f：x→x7的平方根．则f是A到B的映射．
③将函数f（x）=2-x的图象向右平移两个单位向下平移一个单位后，得到的图象对应的函数为g（x）=2-x-2-1
④关于x13的方程|2x-1|=a（a为常数），当a＞0时方程必有两个不同的实数解．
其中正确的命题序号为______（以序号作答）
正确答案
定义在R上的函数f（x）满足f（2）＜f（3），则函数f（x）在R上一定不是单调减函数，故①成立；
若A={1，4}，B={1，-1，2，-2}，f：x→x的平方根．则f是A到B的映射，故②成立；
将函数f（x）=2-x的图象向右平移两个单位向下平移一个单位后，得到的图象对应的函数为g（x）=2-x+2-1，故③不成立；
关于x的方程|2x-1|=a（a为常数），当0＜a＜1时方程必有两个不同的实数解，故④不成立．
故正确答案为：①②．
（1）求函数y=
（2）设a＞0且a≠1，解关于x的不等式a2x2-3x+2＞a2x2+2x-3．
正确答案
（1）根据题意得
故函数y=
（2）当a＞1时，由关于x的不等式a2x2-3x+2＞a2x2+2x-3．可得 2x2-3x+2＞2x2+2x-3，解得x＜1．
当0＜a＜1时，由关于x的不等式a2x2-3x+2＞a2x2+2x-3．可得 2x2-3x+2＜2x2+2x-3，解得x＞1．
综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＞1}．
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