- 指数函数及其性质
- 共414题
给出下列四个结论：①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；②函数y=k3x（k＞0）（k为常数）的图象可由函数y=3x的图象经过平移得到；③函数y=
正确答案
①中两个函数的定义域均为R，故正确；
②因为k＞0，所以存在t∈R，使得k=3t，y=k3x=3x+t（k＞0），故正确；
③中，f(x)=
同理可判y=
④中y=cos|x|=cosx，故正确．
故答案为：①②③④
下列命题：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；
③幂函数f(x)=
④函数y=ax-5+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（5，1）；
⑤函数y=log2（kx2+kx+1）的定义域为R，则实数k的范围为0＜k＜4．
其中真命题的序号是 ______（把你认为正确的命题的序号都填上）．
正确答案
①偶函数的图象不一定与y轴相交，如y=x-2；所以不正确．
②定义在R上的奇函数，则有f（-0）=-f（0），所以f（0）=0；所以正确．
③幂函数f(x)=
④函数y=ax-5+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（5，2），所以不正确；
⑤函数y=log2（kx2+kx+1）的定义域为R，
则kx2+kx+1＞0，x∈R恒成立
当k=0时，成立
当k＞0时，△=k2-4k＜0
解得：0＜k＜4
综上：0≤k＜4
所以不正确．
故答案为：②
函数y=2x-2和
（1）请指出图中曲线C1、C2分别对应的函数；
（2）现给下列三个结论：
①当x∈(-∞，-1)时，2x-2＜
②x2∈(1，2)；③x3
请你选择一个结论判定其是否成立，并说明理由。
正确答案
解：（1）C1为
（2）结论①成立，理由如下：
∵函数
∴
又∵函数
∴
而
结论②成立，理由如下：
构造函数
则
∴f(x)在区间(1，2)内有零点，同理f(x)在区间（5，6）内有零点，
由题意，∴
结论③成立，理由同②。
若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；
（Ⅱ）已知函数h（x）=lg
（Ⅲ）试探究形如①y=kx+b（k≠0）、②y=ax2+bx+c（a≠0）、③y=
正确答案
（Ⅰ）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得2x0+1=2x0+2得：…（2分）
即2x0=2，解得x0=1，
∴函数f（x）=2x具有性质M．…（4分）
（Ⅱ）h（x）的定义域为R，且可得a＞0，
∵h（x）具有性质M，
∴存在x0，使得h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得lg
化为2（
整理得：（a-2）
①若a=2，得x0=-
②若a≠2，则要使（a-2）
即a2-6a+4≤0，解得a∈[3-
∴a∈[3-
综合①②，可得a∈[3-
（Ⅲ）函数y=f（x）恒具有性质M，即关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
①若f（x）=kx+b，则方程（*）可化为k（x+1）+b=kx+b+k+b，
整理，得0×x+b=0，
当b≠0时，关于x的方程（*）无解
∴f（x）=kx+b不恒具备性质M；
②若f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则方程（*）可化为2ax+a+b=0，解得x--
∴函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）一定具备性质M．
③若f（x）=
∴f（x）=
④若f（x）=ax，则方程（*）可化为ax+1=ax+a，化简得（a-1）ax=a即ax=
当0＜a＜1时，方程（*）无解
∴f（x）=
⑤若f（x）=logax，则方程（*）可化为loga（x+1）=logax，化简得x+1=x
显然方程无解；
∴f（x）=
综上所述，只有函数f（x）=ax2+bx+c一定具备性质M．…（14分）
指数函数f（x）=（2a-1）x满足f（π）＜f（3），则实数a的取值范围是______．
正确答案
∵π＞3且f（π）＜f（3），
∴函数f（x）=（2a-1）x是减函数
因此2a-1∈（0，1），解之得
故答案为：(
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