热门试卷

解：（1）定义域为R，值域为；

（2）单调增区间：；单调减区间：。

解：（1）证明：①函数f（x）=ax（n>1）具有性质P

f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=

因为a>1，

即f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），此函数为具有性质P；

②函数f（x）=x3不具有性质P

例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，

2f（x）=-2，

所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），此函数不具有性质P。

（2）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，

则f（1）- f（i-1）>0，

因为函数f（x）具有性质P，所以，对于任意n∈N*，

均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），

所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥… ≥f（i）-f（i-1）>0，

所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）>0，

与f（n）=0矛盾，

所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0。

（3）不成立

例如

证明：当x为有理数时，x-1，x+1均为有理数，

f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2x2-n（x-1+ x+1-2x）=2

当x为无理数时，x-1，x+1均为无理数，

f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2x2=2，

所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），

即函数f（x）具有性质P

而当x∈[0，n]（n>2）且当x为无理数时，f（x）>0

所以，在（2）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立。

解：（1），

令

因

故

当时，

当时，令

若，时，取得最大值，

若，时取得最大值，

若，时取得最大值，

综上，；

（2）令则存在使得

即存在使得

所以

a的取值范围是；

（3）因是单调增函数，故由得

问题转化为对恒成立

即

令

若，必需且只需，此时得；

若，必需且只需，此时得；

若，必需且只需，此时无解

综上得a的取值范围是。

解：(1)当a＞1时，y=ax在R上单调递增，y=a-x=在R上单调递减，

所以，原函数在R上单调递增；

同理，当0＜a＜1时，原函数在R上单调递减；

(2)，

∴，即2a2-3a-2=0，∴a=2或(舍去)，

∴，

令，

∵x≥1，∴，

∴g(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2，

当时，g(t)min=g(m)=2-m2=-2，

∴m=2或m=-2(舍去)；

当时，，

∴(舍去)；

综上可知m=2。