热门试卷

D

（1）证明：因为（，，）是同一个常数，

所以，，，依次构成等比数列．

（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．

假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，

则，且．

令，则，且（，），

化简得（），且．将代入（）式，

，则．

显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，

因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．

（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，

则，且．

分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），

则，且．

将上述两个等式两边取对数，得，

且．

化简得，

且．

再将这两式相除，化简得（）．

令，

则．

令，

则．

令，则．

令，则．

由，，

知，，，在和上均单调．

故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．

所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．

（1）则

所以在内至少存在一个零点.

又，故在内单调递增，

所以在内有且仅有一个零点.

因为是的零点，所以，即，故.

（2）解法一：由题设，

设

当时,

当时,

若,

若,

所以在上递增，在上递减，

所以，即.

综上所述，当时, ；当时

解法二  由题设，

当时,

当时, 用数学归纳法可以证明.

当时, 所以成立.

假设时，不等式成立，即.

那么，当时，

.

又

令，则

所以当,,在上递减；

当,,在上递增.

所以，从而

故.即，不等式也成立.

所以，对于一切的整数，都有.

解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，

所以,

令

当时, ,所以.

当时,

而，所以，.

若, ,,

当,,,

从而在上递减,在上递增.所以，

所以当又,，故

综上所述，当时, ；当时