直线、平面垂直的判定与性质_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

17．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

正确答案

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，

则下列直线中与直线EF相交的是（）

A直线AA1

B直线A1B1

C直线A1D1

D直线B1C1

正确答案

D

解析

直线B1C1和直线EF在同一平面内，又不平行，所以一定相交，其余选项都是异面直线.

考查方向

空间直线的位置关系

解题思路

空间直线的位置关系

易错点

空间想象

知识点

直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.

（I）证明：；

(II)若,求五棱锥的D′-ABCFE体积.

正确答案

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

18. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

正确答案

（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.

解析

试题分析：（Ⅰ））根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.

（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.

试题解析：（Ⅰ））证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。

考查方向

1.平行关系；2.垂直关系.

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．

22.求证：平面；

23.求证：平面平面；

24.求三棱锥的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）略.

解析

试题分析：（Ⅰ）在三角形中，利用中位线的性质得，最后直接利用线面平行的判定得到结论.

（Ⅰ）因为分别为，的中点，

所以.

又因为平面，

所以平面.

考查方向

本题考查线面平行的判定，正确运用线面平行的判定定理是关键．

解题思路

利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC.

易错点

线线平行、线面平行有关性质的正确运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）略.

解析

试题分析：（Ⅱ）先在三角形中得到，再利用面面垂直的性质得平面，最后利用面面垂直的判定得出结论.

（Ⅱ）因为，为的中点，

所以.

又因为平面平面，且平面，

所以平面.

所以平面平面.

考查方向

本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定定理是关键．

解题思路

证明OC⊥平面VAB，即证明平面MOC⊥平面VAB.

易错点

线线垂直、线面垂直、面面垂直有关性质定理的正确运用

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）.

解析

试题分析（Ⅲ）将三棱锥进行等体积转化，利用，先求出三角形的面积，由于平面，所以为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.

（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，

所以.

所以等边三角形的面积.

又因为平面，

所以三棱锥的体积等于.

又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

所以三棱锥的体积为.

考查方向

本题考查体积的计算，等积法是解决问题的关键．

解题思路

利用等体积法求三棱锥V-ABC的体积．

易错点

三棱锥的体积公式的正确运用

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.

19.证明：平面；

20.当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）略.

解析

试题分析：（Ⅰ）在图1中，因为，是的中点，，所以四边形是正方形，故，又在图2中，，从而平面，又且，所以，即可证得平面；

（Ⅰ）在图1中，因为，是的中点，所以，

即在图2中，

从而平面

又

所以平面.

考查方向

本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

解题思路

在处理有关空间中的线面平行.线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化

易错点

线线关系与线面关系的转换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ） .

解析

试题分析：（Ⅱ）由已知，平面平面，且平面平面，又由（Ⅰ）知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.

（Ⅱ）由已知，平面平面，

且平面平面

又由（Ⅰ）知，，所以平面，

即是四棱锥的高，

由图1可知，，平行四边形面积，

从而四棱锥的为

，

由，得.

考查方向

本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

解题思路

2.求几何体的体积的方法主要有公式法.割补法.等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.

易错点

体积的计算

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

18. 直三棱柱中，，M为的中点，N是的交点.

（I）求证：MN//平面；

（II）求证：平面.

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，直接按照步骤来求

考查方向

本题考查了直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定

解题思路

本题考查三角函数与解三角形，解题步骤如下：

1、利用中位线证明；

2、转化证明进行证明

易错点

第一问中在平面中找与MN平行直线；第二问中在平面.找与MN垂直直线

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19. 四棱锥平面ABCD，2AD=BC=2a，

（1）若Q为PB的中点，求证：；

（2）若，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA//平面DMN；

正确答案

详细答案见解析.

解析

试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关函数的知识，即可解决本题，解析如下：

证明（1）连结,中,

由余弦理:,

解得

所以为直角三角形，因为，

所以又因为平面

所以因为

所以平面平面

所以，平面平面又因为，为中点

所以因为平面平面

所以平面平面

所以

（2）当为中点时，平面;

证明：连结，

设先证明为平行四边形，

由中点得可证明平面

考查方向

本题考查了线面平行、垂直，余弦定理的相关知识点。

易错点

证明线面垂直时由于不熟悉定理容易证错。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

正确答案

见解析

解析

（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，

∴AC＝

＝，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．

（2） BM=2

考查方向

本题考查了立体几何中垂直关系的证明

解题思路

（1）由余弦定理求AC

（2）由勾股逆定理得∠ACB＝90°

（3）AC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB

易错点

证明过程不到位。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19．如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面．

（Ⅰ）证明:平面平面；

（Ⅱ）若,试求异面直线与所成角的余弦值．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

试题解析：（Ⅰ）依题意∴是正三角形，，

∵⊥平面，平面，

平面

平面，∴平面平面．

（Ⅱ）取的中点，连接、，连接

中，是中位线，,

∴四边形是平行四边形，可得

可得（或其补角）是异面直线与所成的角．

,

即异面直线与所成角的余弦值为．

考查方向

本题考查了立体几何中的面面垂直和异面直线所成的角的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何，解题步骤如下：

（1）转化为证明线面垂直。

（2）找到三角形，利用余弦定理求解。

易错点

（1）第一问中的面面垂直的转化。（2）第二问中异面直线所成的角求解时要找到适当的三角形。

知识点

异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

热门试卷

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点