直线、平面垂直的判定与性质
共445题

直线、平面垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在四棱锥中，底面是正方形，△是正三角形，平面平面，和分别是和的中点。

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）在上是否存在点，使得平面∥平面，若存在求出点位置，并证明，若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：因为△是正三角形，是的中点，所以.

因为平面平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以. ……………5分

（2）证明：因为平面，平面，所以.

因为是正方形，分别是的中点，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以平面平面. …………9分

（3）存在点为的中点，使得平面∥平面. ……………10分

证明：因为分别是的中点，所以∥.

因为平面，平面，所以∥平面 .

同理可得∥平面.

因为，所以平面∥平面. …………………14分

知识点

直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下面结论：①AC⊥BD；②CD⊥平面ABC；③AB与BC成600角；④AB与平面BCD成450角。则其中正确的结论的序号为

正确答案

解析

略

知识点

异面直线及其所成的角直线与直线垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示.

（1）若M是FC的中点，求证：直线//平面；

（2）求证：BD⊥；

（3）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）因为,分别为中点，所以// ---------------------2分

又，

所以. -----------------------4分

（2）因为，且

所以 -------------7分

又

所以 ------------------------9分

（3）直线与直线不能垂直 ---------------------------------------10分

因为,,,

，

所以 . ---------------------------------------12分

因为，所以，

又因为，所以.

假设，

因为，，

所以， ------------------------------------------13分

所以，

这与为锐角矛盾

所以直线与直线不能垂直. ---------------------------------------14分

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其主（正）视图为矩形，左（侧）视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形。

（1）求证：BC∥平面C1B1N；

（2）求证：BN⊥平面C1B1 N;

（3）求此几何体的体积。

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在四棱台中，底面是平行四边形，，

。

（1）证明：平面；

（2）证明：//平面。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：∵在△中，由余弦定理得

∴，因此， …

∵平面，且平面.

∴

又，∴平面

（2）

证明：连接，，设，连接，

∵四边形是平行四边形，∴

由棱台定义及知

//,且，

∴四边形是平行四边形，因此//，

又∵平面，

∴//平面

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

设a，b，c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是

A当

B当

C当

D当

正确答案

解析

略

知识点

四种命题及真假判断平行公理平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，已知直三棱柱中，，为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：连接与相交于，连

∵是正方形, ∴, 又∵为的中点，

∴， ………3分

∵平面, 平面,

∴平面 ………6分

（2）连接,∵是正方形, ∴, ………7分

∵, 且， ∴平面, ………9分

∴, ………10分

∵与相交, ∴平面, ………12分

∴. ………13分

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若，，.（1）求证：//平面；（2）求证：面；

（3）求三棱锥的体积.

正确答案

见解析。

解析

证明：四边形为矩形，

平面，平面,//平面

（2）证明：在中，，，

满足，所以，即

又因为四边形为矩形，所以

又，所以

又因为，所以

又因为四边形为菱形，所以，又，所以

（3）解：

过作于，由第（1）问已证

，

，由题设知

三棱锥的体积是

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图5，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝135°，∠C＝60°，AB＝AD，M，N分别是边AB，CD上的点，且2AM＝MD，2CN＝ND，如图5，将△ABD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD，并连结AC，MN（如图6）。

（1）证明：MN∥平面ABC；

（2）证明：AD⊥BC；

（3）若BC＝1，求三棱锥A－BCD的体积。

正确答案

见解析。

解析

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,，平面，，，。

（1）求证：；

（2）设AC与BD相交于点O，在棱上是否存在点，使得∥平面?若存在，确定点位置。

正确答案

见解析

解析

（1）在直角梯形ABCD中，

所以，所以. …………4分

又因为，所以

由，所以

所以 …………7分

（2）存在点，使得∥平面，此时 …………9分

证明：在PC上取点使得，连接OE.

由，

所以,可得 …………13分

又因为

所以∥平面 …………14分

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