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见答案

平面BEG∥平面ACH.证明如下

因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH

于是BCEH为平行四边形

所以BE∥CH

又CH平面ACH，BE平面ACH，

所以BE∥平面ACH

同理BG∥平面ACH

又BE∩BG＝B

所以平面BEG∥平面ACH

(Ⅲ)连接FH

因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH

因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD

又DF平面BFDH，所以DF⊥EG

同理DF⊥BG

又EG∩BG＝G

所以DF⊥平面BEG.

（Ⅰ）证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.

又，因此AE⊥平面B1BCC1.

而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

（Ⅱ）设AB的中点为D，连接A1D，CD.

因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.

又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.

又，因此CD⊥平面A1ABB1，

于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．　　　　　　　

由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝.

在Rt△AA1D中，AA1＝

故三棱锥F AEC的体积V＝

（Ⅰ）连接，交于点，连接．

在三棱柱中，

四边形是平行四边形，为的中点．

又∵是的中点，∴．

又∵平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）∵，，∴△为正三角形，∴．

∵，，∴△为正三角形．

∵为的中点，∴，．

∵为的中点，为的中点，，∴．

∵，∴，∴

∵平面，平面，，

∴平面．

∵平面，

∴平面⊥平面．

（Ⅰ）由已知，，,且，故

平面，所以平面平面.                    ………… 5分

（Ⅱ）因垂直于底面，若与底面所成角为，则，故,

则四棱锥的高为，又，；三棱锥的高为1，而中，，，所以，则，所以几何体的体积为. ………… 12分