热门试卷

解：（Ⅰ）由椭圆C的方程为+y2=1．

得其“准圆”方程为x2+y2=4．

则P点坐标为（0，2），∵直线l过P且与椭圆C只有一个交点，

则直线l的方程可设为y=kx+2，将其代入椭圆方程可得：

x2+3（kx+2）2=3，即（3k2+1）x2+12kx+9=0．

由△=（12k）2-36（3k2+1）=0，解得k=±1，

∴直线l1 的方程为y=x+2，l2 的方程为y=-x+2，

或直线l1 的方程为y=-x+2，l2 的方程为y=x+2；

（Ⅱ）如图，

由题意可设B（m，n），D（m，-n）（），

则有，

又点A的坐标为（2，0），故．

故

=．

又，

故．

∴的取值范围是[0，7+4）．

解：（1）双曲线C1：2x2-y2=1左顶点A（-，0），

渐近线方程为：y=±x．

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，

所以，解得．

所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=；

（2）由题意，直线的斜率存在，

∵过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，

∴直线l与双曲线的渐近线平行，

∵渐近线的斜率为±，

∴直线l的方程为y-=（x+），即y=x+2+或y=-x-2+；

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），

则直线OM的方程为y=x，由得，

所以|ON|2=．

同理|OM|2=，

设O到直线MN的距离为d，

因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以=+=3，

即d=．

综上，O到直线MN的距离是定值．

解：（1）由已知，

又a2=b2+c2，可解得a=2b  ①

在y=x2-b中，令y=0，得

∴②

由①②得，a=2，b=1

∴，

（2）证明：由得x2-kx-1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴x1+x2=k，x1x2=-1

∵M（0，-1），

∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=

∴MA⊥MB

∴MD⊥ME

∴•=0，是定值

解：（1）由|A1B1|=，知a2+b2=7，①

由，知a=2c，②

又b2=a2-c2，③

由①②③解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

当直线n的斜率不存在时，由对称性取P（1，0），A（1，），B（1，-），

则．

当直线n的斜率存在时，令AB：y=kx+m，

∵|OP|=1，∴，即m2=1+k2，

∵|OP|=1，∴．

联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∴，（*）

∴，

将（*）代入并化简得，

∴，

由1+k2=m2，得m2≥1，∴，∴，

综上所述，的取值范围是（]．

解：（1）设M（x0，y0），圆M的半径为r．

因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，

所以MF⊥x轴，所以x0=c，r=|y0|①

因为点M在椭圆上，所以

将上式代入，结合a2-c2=b2，

可得r=②

因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，

所以=2，d=c=

又因为a2-b2=c2

从而有a2-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）

所以b2=2a=6

所求椭圆方程是：；

（2）设N（s，t），M（x，y），则由=λ，

可得（x，y-3）=λ （s，t-3）．

故x=λs，y=3+λ （t-3）．

∵M、N在曲线C上，

∴，

由题意知λ≠0，且λ≠1，消去s，

解得t=

又|t|≤，

∴||≤．

解得5-2≤λ≤5+2（λ≠1）．

故实数λ的取值范围是5-2≤λ≤5+2（λ≠1）．

解：（Ⅰ）由椭圆的定义知a=，又，∴b2=2，c2=a2-b2=1．

∴椭圆P（x0，y0）的方程是．

∵，∴，

∴，

∴，

又，故|y1-y2|=4．

（Ⅱ）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l、QA、QB斜率存在且不为零．

设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）则

∵直线QA、QB的倾斜角互为补角，

∴kQA+kQB=0，∴．

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0，

∴，

化为2m-6=0，解得m=3，

∴存在Q（3，0）使得直线QA、QB的倾斜角互为补角．

（Ⅰ）解：∵等轴双曲线的离心率为，

∴由离心率互为倒数，得椭圆的离心率为e=，即e2===，

即a2=2b2，

∵直线l：x-y+=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2相切．

∴b=1，a2=2，

即椭圆的方程为：+y2=1．

（Ⅱ）证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB：：y=kx+m，m≠±1，M（0，1）

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程和直线方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

x1+x2=-，x1x2=，由已知k1+k2=4，可得=4

即=4，2k-4+（m-1）=0，

将x1+x2，x1x2代入得到，k=2（m+1），即m=-1，

则AB：y=kx+-1，即y=k（x+）-1，AB恒过定点（-，-1）；

②若直线AB斜率不存在，设AB：x=x0，则A（x0，y0），B（x0，-y0），由=4，

得x0=-，故直线AB：x=-，故直线AB也过定点（-，-1）．

综上，直线AB恒过定点（-，-1）．

（Ⅲ）设直线l：y=tx+2，设D（x3，y3），E（x4，y4），联立椭圆方程和直线l的方程，

得到（1+2t2）x2+8tx+6=0

由△＞0得t2＞，x3+x4=-，x3x4=，

则|DE|=|x3-x4|=

由O到直线l的距离d=，

故△ODE的面积S=d•|DE|=，

令u=＞0，则2t2=u2+3，

则S==≤=．

当且仅当u=2，即t=，|DE|=，△ODE的面积最大．

解：（1）由已知F1（0，1），

∴a2-b2=1，①

设M（x0，y0），（x0＜0），

则|MF1|=，解得，，

∴．②

由①②得a2=4，b2=3．

故椭圆的方程为．

（2）由题意，圆过原点，设G（x1，y1），H（x2，y2），

∵GH是圆的直径，

∴x1x2+y1y2=0．

设P（x3，y3），则，

∴-；

又GH的中心是（0，-1），

∴x1+x2=0，y1+y2=-2，而，

∴，

∴，

又∵-2≤y3≤2，

∴当y3=2时，最大，并且最大值为8．

（3）∵直线l：y=k（x+t），（t≠0）与圆x2+（y+1）2=1相切，

∴⇒k=，（t≠0）．③

将直线y=k（x+t）代入椭圆方程，整理得

（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2-12=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则=k（x1+t）+k（x2+t）=k（x1+x2）+2kt=，

∵，

∴P（），

又P在椭圆上，

∴，解得，

将③代入整理得：（t≠0）

∴0＜λ2＜4，

∴λ的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．

解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，

又a2=b2+c2，

联立解得a=2，b=1．                                  …（4分）

（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，-1）．

因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y=kx-1，

代入+y2=1，得M（，），

从而DM=．  …（6分）

用-代k得DN=．

所以△DMN的面积S=⋅×=．                …（8分）

则=，

因为＞，即＞，

整理得4k4-k2-14＜0，解得-＜k2＜2

所以0＜k2＜2，即-＜k＜0或0＜k＜．

从而k的取值范围为（-，0）∪（0，）．

证明：（I）∵右准线，渐近线，

∴，

∵F（c，0），c2=a2+b2，

∴=，，

∵，

∴…（3分）

（II）∵，

∴，

∴a2=2b2，

∵||=1，

∴，

∴

∴双曲线C的方程为：…（7分）

（III）由题意可得0＜λ＜1…（8分）

证明：设l3：y=kx+1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）

由得（1-2k2）x2-4kx+4=0∵l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

∴，

∴…（11分）

∵，

∴（x1，y1-1）=λ（x2，y2-1），得x1=λx2

∵，

∴0＜2k2-1＜1，

∴，

∴（1+λ）2＞4λ，

∴λ2-2λ+1＞0

∴λ的取值范围是（0，1）…（13分）

解：（1）抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=-，

由抛物线的定义可得，3+=4，解得p=2；

（2）证明：由题意知，k1+k2=3，

不妨设AB的斜率k1=k，则CD的斜率k2=3-k，

所以AB的直线方程是：y=k（x-1），CD的直线方程是y=（3-k）（x-1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

则x1+x2=，x1x2=1，

所以y1+y2=k（x1-1）+k（x2-1）=k（2+）-2k=，

因为M是AB的中点，所以点M（1+，），

同理可得，点N（1+，），

所以直线MN的方程是：y-=（x-1-），

化简得，y=（k-k2）（x-1）+，令x=1，得y=，

所以直线MN过定点（1，）．