热门试卷

解：（1）由于2a=20，即a=10，又e==，则c=6，

则b2=a2-c2=64，则椭圆的标准方程=1或=1；

（2）椭圆+=1的焦距为2c=2，设P（m，n），则=1，

以点P及焦点F1，F2为定点的三角形的面积为S=×2×|n|=1，

则有n=±1，m=，

则点P为（，1），（-，1），（-，-1），（，-1）．

解：（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为，

由已知得：，解得 ，

所以椭圆的标准方程为：；

（Ⅱ） 因为直线l：y=kx+t与圆（x+1）2+y2=1相切，

所以，

把y=kx+t代入并整理得：（3+4k2）x2+8ktx+（4t2-48）=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，

因为，

所以，

又因为点C在椭圆上，

所以，

因为t2＞0，所以 ，

所以0＜λ2＜1，

所以λ的取值范围为（-1，0）∪（0，1）．

解：（1）∵动点P（x，y）到定点F1（，0）与定直线l1：x=的距离之比为常数．

∴；

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意，可知斜率k存在，设l：y-=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0

因为过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，所以，解得k=-．

此时△＞0，所以直线l：y-=（x-1），即l：y=．

（3）点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0．

由于点M在椭圆C上，所以．

由已知T（-2，0），则，，

∴=．

由于-2＜x1＜2，故当x1=-时，取得最小值为-．

此时，故M（-，），又点M在圆T上，代入圆的方程得到．

故圆T的方程为：．

（1）解：设抛物线C：y2=2px（p＞0），则2p=8，从而p=4

因此焦点F（2，0），准线方程为x=-2；

（2）证明：作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D．

则由抛物线的定义，可得|FA|=|AC|，|FB|=|BD|

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4，∴

同理

记直线m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-==

∴|FP|==

∴|FP|-|FP|cos2α=（1-cos2α）=8．

解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，…．（2分）

∴所求椭圆方程为．…..（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x=m，此时A，B两点关于x轴对称，又以|AB|为直径的圆过原点，

设A（m，m）代入椭圆方程得：…．（6分）

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．联立，

整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴，．…．（8分）

又==．

由以|AB|为直径的圆过原点，则有．…..（10分）

即：x1x2+y1y2=0，故满足：得：4m2=3+3k2，所以m2=．

又点O到直线AB的距离为：．

综上所述：点O到直线AB的距离为定值．…（13分）

解：（Ⅰ）由题设得：，得|PF1|=4a，|PF2|=2a，

因为点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2=c2的一个交点，∴PF1⊥PF2，

∴，则16a2+4a2=4c2，即5a2=c2，故离心率；

（Ⅱ）∵双曲线的渐近线方程为y=±x，F2到渐近线的距离是，

∴，所以c=2，又，a2+b2=c2，得a=b=，

所以双曲线方程为x2-y2=2，F2（2，0），．

设A（x1，y1），B（x2，y2），由双曲线的焦半径公式得：，

，

∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴．

∴，则，

所以．