热门试卷

解：（1）∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，

∴可设双曲线C的方程x2-4y2=λ，

∵双曲线经过点A（2，1），

∴8-4=λ，

∴λ=4，

∴双曲线C的方程为；

（2）双曲线C的两个焦点分别为F1（-，0），F2（，0），∴|F1F2|=2．

设M（x，y），则∵△F1MF2的面积为，

∴=，

∴|y|=，

∴|x|=，

取点M（，），则PM的方程为y=x+t，

由，可得，∴y′=，

x=时，y′=，

∴=，

∴t=-2，

同理，根据对称性，可得t=2．

解：（Ⅰ）∵，

∴a2=2b2，从而，

将点的坐标代入上式，得b2=1，a2=2，

∴椭圆C方程为．

（Ⅱ）因为直线l与圆相切，所以，即3m2-2k2-2=0．

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

从而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，

所以===0，

故OA⊥OB．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，

由向量加法的平行四边形法则，得，

∵，∴，

（i）当m=0时，直线l：y=kx+m过原点，点A与B关于原点对称，不合题意．

（ii）当m≠0时，点A，B不关于原点对称，则λ≠0，

设Q（x0，y0），则（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），

得，从而．

∵点Q在椭圆上，将Q的坐标代入椭圆方程中，得，

化简得4m2=λ2（1+2k2）．…①

又△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），由△＞0，得1+2k2＞m2．…②

由①、②得4m2＞λ2m2，∵m≠0，∴0＜λ2＜4．…④

因此，实数λ的取值范围是-2＜λ＜0，或0＜λ＜2．

解：（1）由题意知：2a=4，∴a=2．

又，∴c=1，∴b2=a2-c2=22-12=3．

∴椭圆E的方程为：；

（2）由（1）知，F1（-1，0）．

当l⊥x轴时，方程为x=-1，．

，不合题意．

当直线l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x+1）（k≠0），

联立，消去y得，（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

△=144k2+144＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则．

则|AB|=

==．

又原点O到l的距离为．

∴．

化简得：17k4+k2-18=0，即（k2-1）（17k2+18）=0．

解得：k=±1．

∴直线l的方程为y=±（x+1）．

解：（Ⅰ）直线l与x轴垂直时，|MN|=2p，

∵△OMN的面积为2，

∴==2，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x；

（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，不满足，设正方形的第三个顶点P（0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）

设l：y=k（x-1）（k≠0），代入y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

∴x1+x2=，x1x2=1，

∴MN的中点为（，），

∴线段MN的垂直平分线为y-=-（x-1-），

∴P（0，），

∵•=0，

∴x1x2+（y1-y0）（y2-y0）=0，

∴1-4-y0•+y02=0，

由y0=代入，可得（3k4-4）（k2+1）=0，

∴k=±，

∴存在直线l：y=±（x-1）．