圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8．

（1）试求抛物线方程；

（2）若该抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足NF=MN，求∠NMF的大小．

正确答案

解：（1）依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=-x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．

则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

=x1++x2+

即x1++x2+=8．①

又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，

由消去y，得x2-3px+=0，

∵△=9p2-4×=8p2＞0．

∴x1+x2=3p．

将其代入①得p=2，

∴所求抛物线方程为y2=4x．

（2）根据抛物线的定义可知：N到准线的距离=d=|NF|，

∵NF=MN，

∴N作准线的垂线，垂足为G，根据定义可知：sin∠GMN=，

即∠NMG=

∵∠NMF+∠GMN=，

∴∠NMF=

故∠NMF的大小为：，

解析

解：（1）依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=-x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．

则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

=x1++x2+

即x1++x2+=8．①

又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，

由消去y，得x2-3px+=0，

∵△=9p2-4×=8p2＞0．

∴x1+x2=3p．

将其代入①得p=2，

∴所求抛物线方程为y2=4x．

（2）根据抛物线的定义可知：N到准线的距离=d=|NF|，

∵NF=MN，

∴N作准线的垂线，垂足为G，根据定义可知：sin∠GMN=，

即∠NMG=

∵∠NMF+∠GMN=，

∴∠NMF=

故∠NMF的大小为：，

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题型：填空题

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填空题

椭圆中心在原点，且经过定点（2，-3），其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的方程为______．

正确答案

+=1

解析

解：由题意抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），设椭圆的标准方程为

则a2-b2=4①

∵椭圆经过定点（2，-3），

∴②

由①②可得a2=16，b2=12

∴椭圆的方程为+=1

故答案为：+=1

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题型：填空题

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填空题

若双曲线C1：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线C2：y2=4px（p＞0）的一个交点在x轴上的射影恰为抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为______．

正确答案

解析

解：抛物线C2：y2=4px的焦点为（p，0），故双曲线C1的一条渐近线与抛物线的交点坐标为（p，2p），∴b=2a

∴=

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

若点（x，y）是曲线上的动点，且x2+2y的最大值为12，则b的值为______．

正确答案

6

解析

解：∵P（x，y）是曲线上的动点，

∴

∴x2+2y=4+2y==（*）

∵-b≤y≤b

①当即b≥4时，y=b时（*）有最大值2b=12

∴b=6

②当即0＜b＜4时，y=（*）有最大值

∴b=（舍）或b=-4（舍）

综上可得，b=6

故答案为6

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题型：单选题

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单选题

设a、b是非零实数，则方程bx2+ay2=ab及ax+by=0所表示的图形可能是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：方程bx2+ay2=ab可变形为，方程ax+by=0可变形为y=-x

∴方程ax+by=0的图象为过原点的直线，排除B

若a，b同号，则-＜0，直线过二，四象限，方程bx2+ay2=ab图象为椭圆，排除A

若a，b异号，则-＞0，直线过一，三象限，方程bx2+ay2=ab图象为双曲线，排除D

故选C

1

题型：单选题

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单选题

若双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率是（　　）

A

B

C2

D

正确答案

B

解析

解：∵抛物线y2=12x的焦点是（3，0），

∴c=3，m=a2=9-3=6，

∴e=．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆+=1与双曲线-=1（m，n，p，q∈R+）有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|=______．

正确答案

m-p

解析

解：因为椭圆+=1与双曲线-=1（m，n，p，q∈R+）有共同的焦点F1、F2，

所以有：m-n=p+q；

设P在双曲线的右支上，左右焦点F1、F2：

利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2 ①

|PF1|-|PF2|=2 ②

由①②得：|PF1|=+，|PF2|=-．

∴|PF1|•|PF2|=m-p．

故答案为：m-p．

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题型：单选题

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单选题

抛物线y2=4x的焦点F是椭圆的一个焦点，且它们的交点M到F的距离为，则椭圆的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），

∴椭圆的一个焦点F（1，0），

∵它们的交点M到F的距离为，

∴xM=-1=，∴yM2=，

∴，解得，（舍）或a2=4．

∴椭圆的方程为=1，

∴椭圆的离心率e=．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

已知曲线C：，下列叙述中错误的是（　　）

A垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点

B直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点

C曲线C关于直线y=-x对称

D若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有

正确答案

C

解析

解：设曲线C上的任一点M的坐标为（x0，y0），x0＞0，y0＞0则有为双曲方程，焦点在x轴

且则其关于直线y=-x的对称点M′为（-y0，-x0）代入曲线方程中得为双曲线方程，焦点在y轴，

则可知曲线C不可能关于直线y=-x对称

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．

（Ⅰ）求抛物线方程；

（Ⅱ）点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（I）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线为x=，

由抛物线的定义可知：4=3，p=2

∴抛物线方程为y2=4x；

（II）由于抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，

设直线AB：x=my+1，与y2=4x联立，消去x，整理得：

y2-4my-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），有

易知，而

==

==2k3

∴存在实数λ=2，使得k1+k2=λk3恒成立．

解析

解：（I）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线为x=，

由抛物线的定义可知：4=3，p=2

∴抛物线方程为y2=4x；

（II）由于抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，

设直线AB：x=my+1，与y2=4x联立，消去x，整理得：

y2-4my-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），有

易知，而

==

==2k3

∴存在实数λ=2，使得k1+k2=λk3恒成立．

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题型：单选题

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单选题

椭圆和具有（　　）

A相同的长轴长

B相同的焦点

C相同的离心率

D相同的顶点

正确答案

C

解析

解：因为，所以e1=；

，e2====e1．

所以两个椭圆的离心率相同．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•阜阳校级期末）已知点P（1，3），圆C：（x-m）2+y2=过点A（1，-），F点为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线PF与圆相切．

（1）求m的值与抛物线的方程；

（2）设点B（2，5），点 Q为抛物线上的一个动点，求的取值范围．

正确答案

解：（1）点A代入圆C方程，得（1-m）2+（-）2=，解之得m=1．

∴圆C方程为：（x-1）2+y2=．

①当直线PF的斜率不存在时，不合题意．

②当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF：y=k（x-1）+3，即kx-y-k+3=0．

∵直线PF与圆C相切，∴C到PF的距离为=，解之得k=1或-1．

当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2，不合题意舍去；

当k=-1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，

∴=4，可得抛物线方程为y2=16x

（2）∵P（1，3），B（2，5），∴，

设Q（x，y），得

∴=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12．

=-y2-2y+12=-（y+16）2+28

∵y∈R，得y=-16时的最大值等于28

因此，的取值范围为（-∞，28]．

解析

解：（1）点A代入圆C方程，得（1-m）2+（-）2=，解之得m=1．

∴圆C方程为：（x-1）2+y2=．

①当直线PF的斜率不存在时，不合题意．

②当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF：y=k（x-1）+3，即kx-y-k+3=0．

∵直线PF与圆C相切，∴C到PF的距离为=，解之得k=1或-1．

当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2，不合题意舍去；

当k=-1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，

∴=4，可得抛物线方程为y2=16x

（2）∵P（1，3），B（2，5），∴，

设Q（x，y），得

∴=-（x-2）+（-2）（y-5）=-x-2y+12．

=-y2-2y+12=-（y+16）2+28

∵y∈R，得y=-16时的最大值等于28

因此，的取值范围为（-∞，28]．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF2的周长为4

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率e==，

∴e2===，即a2=2b2，

又△EGF2的周长为4，即4a=4，

∴a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0．

设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，

由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，得k2＜．

根据韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，

∵+=t，

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

x==，

y==[k（x1+x2）-4k]=，

∵点P在椭圆C上，∴16k2=t2（1+2k2），

∵|-|＜，∴|x1-x2|＜，

∴（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]＜，

∴（1+k2）[-4•]＜，

∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，

∴k2＞，

∴＜k2＜．

∵16k2=t2（1+2k2），∴t2==8-，

又＜1+2k2＜2，∴＜t2=8-＜4，

∴-2＜t＜-或＜t＜2，

∴实数t的取值范围为（-2，-）∪（，2）．

解析

解：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率e==，

∴e2===，即a2=2b2，

又△EGF2的周长为4，即4a=4，

∴a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0．

设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，

由△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，得k2＜．

根据韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，

∵+=t，

∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），

x==，

y==[k（x1+x2）-4k]=，

∵点P在椭圆C上，∴16k2=t2（1+2k2），

∵|-|＜，∴|x1-x2|＜，

∴（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]＜，

∴（1+k2）[-4•]＜，

∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，

∴k2＞，

∴＜k2＜．

∵16k2=t2（1+2k2），∴t2==8-，

又＜1+2k2＜2，∴＜t2=8-＜4，

∴-2＜t＜-或＜t＜2，

∴实数t的取值范围为（-2，-）∪（，2）．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆，F是右焦点，若直线L过F与椭圆相交于A，B两点，且，则直线L的方程为：______．

正确答案

解析

解：椭圆的右焦点F（1，0），右准线方程为x=3

设直线L的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程消y可得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，

∵，∴1-x1=2（x2-1）③

联立①②③可得，

∴直线L的方程为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

倾斜角为60°的直线与抛物线x2=2py（p＞0）交于A、B，且A、B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为______．

正确答案

x2=y

解析

解：设直线方程为y=x+b，代入抛物线x2=2py，可得抛物线x2=2p（x+b）

即x2-2px-b=0

∵A、B两点的横坐标之和为3，

∴2p=3

∴2p=

∴抛物线的方程为x2=y

故答案为：x2=y．

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