热门试卷

解：（1）∵，，

由c=2c1，得，即a2+b2=4（a2-b2）

可得  ，

∴C的渐近线方程为．

（2）双曲线C的伴随曲线的方程为x2+y2=1，设直线l的方程为，

由l与圆相切知即  3k2=1+k2

解得，

当时，设N1、N2的坐标分别为N1（x1，y1）、N2（x2，y2）

由得，即，

∵，，x1x2=-5．

∴|x1-x2|===．

∴，

∴；

由对称性知，当时，也有．

（3）设P（x0，y0），则Q（x0，-y0），又A（-2，0）、B（2，0），

∴直线PA的方程为…①

直线QB的方程为…②

由①②得

∵P（x0，y0）在双曲线上，

∴，∴．

因此动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为．

解：由椭圆C：可得a2=4，b2=3，∴=1．

∴左焦点F（-1，0）．

由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可，

设直线l的方程为my=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立化为（4+3m2）y2-6my-9=0，

∴，

∴=，

∴S△PFO===≤=，当且仅当|m|=时取等号．

此时△PFO的最大值为，直线l的方程为．

解：（I）由圆D：（x-2）2+y2=1上可得：圆心（2，0），半径r=1．

令y=0得（x-2）2=1，解得x=3或1．

∴椭圆的半焦距c=3或1，但是当c=1时，，故舍去．

∴c=3，a2=b2+c2=3+32=12．

故椭圆的方程为．

（II）设M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立化为（m2+4）y2+6my-3=0，

∴，．

∴==．

∵，∴=0．

∴x1x2+y1y2=0，∴，

∴，解得为定值．

（III）∵直线l过椭圆的右焦点F（3，0），

∴S△PMN=．

∵|FP|=4-3=1．

利用（II）可得S△PMN==

===1．

当且仅当m2+1=3，即时等号成立．故△PMN的面积存在最大值1．

解：（1）如图所示，∵四边形F1PF2P1是边长为2的正方形，∴a=2，b=c，∴4=a2=b2+c2=2b2，解得b2=2．

∴椭圆的方程为；

（2）由（1）可知B（0，2）．

设A，C，则AC的垂直平分线x=m．线段AB的中点为，，其垂直平分线的斜率为，故AB的垂直平分线的方程为，与x=m联立解得x2=6y．

（3）①直线l1，l2的斜率一个为0而另一个不存在时，不符合题意．

②直线l1，l2的斜率存在且不为0，直线l1的方程为，直线l2的方程为．

联立，化为，∴．

∵直线l1过抛物线的焦点F，

∴|MN|=y1+y2+p=3+6k2+3=6（1+k2）．同理|PQ|=．

∴S===72，当且仅当k=±1时等号成立．

故当k=±1时，此时四边形MRNQ的面积取得最小值72．

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵M（1，1）为AB中点，∴x1+x2=2

又∵A，B在抛物线y2=4x上，

∴，．

两式相减得：（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）．

∴．

∴kAB=2，则直线l的方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；

（2）由|AF|=3，得x1+1=3，∴x1=2，

不妨设A在第一象限，则．

∴AF所在直线方程为，整理得：．

代入y2=4x得：，．

∴．

解：（1）由题意，可得

∵点P到定点F（0，-）与P到直线y=的距离相等

∴点P的轨迹M是以F为焦点、直线y=为准线的抛物线

设抛物线方程为x2=-2py，可得=，得2p=4，

由此可得动圆圆心P的轨迹M的方程为抛物线x2=-4y

设椭圆N的方程为

根据椭圆的定义，可得2a=+=4

∴a=2，结合c=可得b2=a2-c2=2，可得椭圆N的方程为 ；

（2）假设存在满足条件的直线l，

∵P的轨迹M的方程为抛物线x2=-4y，

∴抛物线在x=-4处的切线的斜率k=，因此可设直线l方程为y=x+m

由消去y，化简得4x2+2mx+m2-4=0

∴△=（2m）2-16（m2-4）＞0，解之得m2＜8且m≠0

设B（x1，y1），C（x2，y2），可得x1+x2=-，x1x2=

由两点之间的距离公式，得|BC|=

又∵点A到直线l的距离d=，∴ו=

化简整理，得m4-8m2+18=0，此方程没有实数解．

因此可得：不存在与抛物线在x=-4处的切线平行的直线l，使△ABC面积等于．