圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值是______．

正确答案

25

解析

解：因为椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，

所以有：m2-16=n2+9⇒m2-n2=25

设P在双曲线的右支上，左右焦点F1、F2：

利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2m ①

|PF1|-|PF2|=2n ②

由①②得：|PF1|=m+n，|PF2|=m-n．

∴|PF1|•|PF2|=m2-n2=25．

故答案为：25．

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题型：填空题

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填空题

如果椭圆C和双曲线C′具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则称椭圆C是双曲线C′的“伴生”椭圆，据此，焦点在x轴上，以y=±x为渐近线，且焦点到渐近线距离为1的双曲线的“伴生”椭圆的方程是______．

正确答案

解析

解：由题意双曲线的焦点在x轴上，可设焦点为（±c，0），又y=±x为渐近线，且焦点到渐近线距离为1

∴a=b且1=，解得c=，

∴a=b=1，故此双曲线的离心率为=

由定义知，其对应的椭圆的离心率为

又椭圆的焦点（±，0），可得a′=2，从而b′=

故椭圆的标准方程为

故答案为

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2、A为上顶点，AF1交椭圆E于另一点B，且△ABF2的周长为8，离心率e=．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M，N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过x轴上的定点，并求出定点的坐标．

正确答案

解：（1）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8，∴a=2

∵离心率e=，∴c=，

∴b=

∴椭圆E的标准方程：．

（2）设以M为中点的弦x=my+1与椭圆交于（x1，y1），（x2，y2），则

x=my+1代入可得（m2+2）y2+2my-3=0，

x1+x2=m（y1+y2）+2=

∴M（，-），

同理N（，），

∴kMN=，MN：y+=（x-），

整理得y=（x-），

∴直线MN过定点（，0）．

当直线P1Q1的斜率不存在或为零时，P1Q1、P2Q2的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，也过此定点，

∴直线MN过定点（，0）．

解析

解：（1）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8，∴a=2

∵离心率e=，∴c=，

∴b=

∴椭圆E的标准方程：．

（2）设以M为中点的弦x=my+1与椭圆交于（x1，y1），（x2，y2），则

x=my+1代入可得（m2+2）y2+2my-3=0，

x1+x2=m（y1+y2）+2=

∴M（，-），

同理N（，），

∴kMN=，MN：y+=（x-），

整理得y=（x-），

∴直线MN过定点（，0）．

当直线P1Q1的斜率不存在或为零时，P1Q1、P2Q2的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，也过此定点，

∴直线MN过定点（，0）．

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题型：单选题

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单选题

已知直线与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若，（），则λ=（　　）

A

B

C3

D

正确答案

C

解析

解：直线恒过定点（2，0），即为抛物线y2=8x的焦点F，∠AFx=60°

过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，再过B作AC的垂线，垂足为E，

设|BF|=m，

∵|FA|=λ|FB|，

∴|AF|=λm

∴|AC|=|AF|=λm，|BD|=|BF|=m

如图，在直角三角形ABE中，|AE|=|AC|-|BD|=（λ-1）m，|AB|=（λ+1）m，

∴cos60°==

∴=

∴λ=3

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C过点，两个焦点为F1（-1，0）、F2（1，0）．

①求椭圆C的方程；

②过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若点M的横坐标为_，且满足，求直线l的方程．

正确答案

解：①设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

∵椭圆C过点，两个焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），

∴

∴a2=4，b2=3

∴椭圆C的方程为；

②设直线l的斜率为k，则方程为y-=k（x-1），即y=kx-k+

代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+（12k-8k2）x+4k2-12k-3=0，

设B（x1，y1），则

∵，∴

∵点M的横坐标为，且满足，

∴=-1

∴k=

∴直线l的方程为x-2y+2=0．

解析

解：①设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

∵椭圆C过点，两个焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），

∴

∴a2=4，b2=3

∴椭圆C的方程为；

②设直线l的斜率为k，则方程为y-=k（x-1），即y=kx-k+

代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+（12k-8k2）x+4k2-12k-3=0，

设B（x1，y1），则

∵，∴

∵点M的横坐标为，且满足，

∴=-1

∴k=

∴直线l的方程为x-2y+2=0．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，D（1，）是椭圆C上一点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P，Q是椭圆C上异于A，B的两个动点，直线AP，AQ的斜率之积为-．

①设△APQ与△BPQ的面积分别为S1，S2，请问：是否存在常数λ（λ∈R）．得S1=λS2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；

②求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

正确答案

解：（1）由抛物线y2=4x的焦点重合，可得焦点F（1，0），∴c=1，1=a2-b2．

∵D（1，）是椭圆C上一点，∴=1．

把a2=1+b2代入上式可得：+=1，解得b2=3．

∴a2=4．

∴椭圆C的方程为；

（2）①A（-2，0），B（2，0）．

当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立，化为（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

△＞0，可得m2＜3+4k2．

x1+x2=，x1x2=．

又=-，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∴4k2x1x2+4km（x1+x2）+4m2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，

∴（4k2+1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4+4m2=0，

∴++4+4m2=0，

化为2k2+km-m2=0，

∴2k=m或k=-m．满足△＞0．

点A到直线PQ的距离d1=，

点B到直线PQ的距离d2=，

∴===，

把k=-m代入可得：=3．

当直线PQ的斜率不存在时，x1=x2，y2=-y1，

∴kAPkAQ==，

化为2y1=±（x1+2）．

代入椭圆方程可得，x1=-2舍去．

∴=3．

综上可得：存在常数λ=3．得S1=3S2恒成立．

②设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为，

直线AP的方程为：y=k（x+2），

直线BQ的方程为：y=-，

消去k可得：=1，即为直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

解析

解：（1）由抛物线y2=4x的焦点重合，可得焦点F（1，0），∴c=1，1=a2-b2．

∵D（1，）是椭圆C上一点，∴=1．

把a2=1+b2代入上式可得：+=1，解得b2=3．

∴a2=4．

∴椭圆C的方程为；

（2）①A（-2，0），B（2，0）．

当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立，化为（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

△＞0，可得m2＜3+4k2．

x1+x2=，x1x2=．

又=-，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∴4k2x1x2+4km（x1+x2）+4m2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，

∴（4k2+1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4+4m2=0，

∴++4+4m2=0，

化为2k2+km-m2=0，

∴2k=m或k=-m．满足△＞0．

点A到直线PQ的距离d1=，

点B到直线PQ的距离d2=，

∴===，

把k=-m代入可得：=3．

当直线PQ的斜率不存在时，x1=x2，y2=-y1，

∴kAPkAQ==，

化为2y1=±（x1+2）．

代入椭圆方程可得，x1=-2舍去．

∴=3．

综上可得：存在常数λ=3．得S1=3S2恒成立．

②设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为，

直线AP的方程为：y=k（x+2），

直线BQ的方程为：y=-，

消去k可得：=1，即为直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

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题型：单选题

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单选题

k为何值时，直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个交点（　　）

A-＜k＜

Bk＞或k＜-

C-≤k≤

Dk≥或k≤-

正确答案

B

解析

解：直线y=kx+2代入椭圆2x2+3y2=6，消去y，可得（2+3k2）x2+12kx+6=0，

∴△=144k2-24（2+3k2）=72k2-48，

∵直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个交点，

∴72k2-48＞0，

∴k＞或k＜-．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知点A（1，2）在抛物线Γ：y2=2px上．

（1）若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，求的值；

（2）若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求的值．

正确答案

解：（1）∵点A（1，2）在抛物线Γ：y2=2px上，∴22=2p×1，解得p=2．

∴抛物线Γ的方程为：y2=4x．

设B，C．

∴=，=，k3==．

∴=-+=1．

（2）设D，

则=+-=0．

解析

解：（1）∵点A（1，2）在抛物线Γ：y2=2px上，∴22=2p×1，解得p=2．

∴抛物线Γ的方程为：y2=4x．

设B，C．

∴=，=，k3==．

∴=-+=1．

（2）设D，

则=+-=0．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知曲线C1：x2+y2=1（|x|＜1），C2：x2=8y+1（|x|≥1），动直线l与C1相切，与C2相交于A，B两点，曲线C2在A，B处的切线相交于点M．

（1）当MA⊥MB时，求直线l的方程；

（2）试问在y轴上是否存在两个定点T1，T2，当直线MT1，MT2斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在，求出满足的T1，T2点坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设半圆C1上的切点P（x0，y0），直线lAB：x0x+y0y=1，A（x1，y1），B（x2，y2），则

代入C2：x2=8y+1，消去y可得y0x2+8x0x-y0-8=0得：x1x2=．

MA⊥MB时，yAyB=x1x2=•=-1，得y0=，

又x02+y02=1，求得：x0=±，

∴所求的直线方程为：±x+8y-15=0．

（2）曲线C2在A，B处的切线分别为：y=x1x-x12-，y=x2x-x22-，

两直线的交点M（，（x1x2-1）），即M（-，--），

设M（x，y），则由求得：，代入x02+y02=1，化得x2=16y2+8y-15，

设T1（0，t1），T2（0，t2），则

kMP•kMQ==•为定值，

必须t1+t2=-，t1t2=-，解得：或，不妨取T1（0，-），T2（0，）．

解析

解：（1）设半圆C1上的切点P（x0，y0），直线lAB：x0x+y0y=1，A（x1，y1），B（x2，y2），则

代入C2：x2=8y+1，消去y可得y0x2+8x0x-y0-8=0得：x1x2=．

MA⊥MB时，yAyB=x1x2=•=-1，得y0=，

又x02+y02=1，求得：x0=±，

∴所求的直线方程为：±x+8y-15=0．

（2）曲线C2在A，B处的切线分别为：y=x1x-x12-，y=x2x-x22-，

两直线的交点M（，（x1x2-1）），即M（-，--），

设M（x，y），则由求得：，代入x02+y02=1，化得x2=16y2+8y-15，

设T1（0，t1），T2（0，t2），则

kMP•kMQ==•为定值，

必须t1+t2=-，t1t2=-，解得：或，不妨取T1（0，-），T2（0，）．

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题型：填空题

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填空题

抛物线y2=16x的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：抛物线y2=16x的准线为 x=-4，故有 16=a2+8，

∴a=2 ，

∴==，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点．

∴，解得，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x0，y0），

设直线l的方程为x=my-1，

由得：（3m2+4）y2-6my-9=0，

△=36m2+36（3m2+4）＞0，

∴，

∴AB的中点为，

∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：

∴，

把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m4-24m2-80=0

解得，

∴存在符合条件的直线l的方程为：．

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点．

∴，解得，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x0，y0），

设直线l的方程为x=my-1，

由得：（3m2+4）y2-6my-9=0，

△=36m2+36（3m2+4）＞0，

∴，

∴AB的中点为，

∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：

∴，

把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m4-24m2-80=0

解得，

∴存在符合条件的直线l的方程为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．

（1）求椭圆的方程；

（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值．

正确答案

解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，

∴=，，

∴a=1，b=c=，

所以椭圆C的方程为x2+2y2=1；

（2）设B（m，n），C（-m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，

又1=m2+2n2≥2|m|•|n|，所以|m|•|n|≤，当且仅当|m|=|n|时取等号…8分

从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为．

解析

解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，

∴=，，

∴a=1，b=c=，

所以椭圆C的方程为x2+2y2=1；

（2）设B（m，n），C（-m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，

又1=m2+2n2≥2|m|•|n|，所以|m|•|n|≤，当且仅当|m|=|n|时取等号…8分

从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆C的右焦点的动直线l与椭圆C相交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若线段AB中点的横坐标为，求直线l的方程；

（3）若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦AB的中点为P，试求的取值范围．

正确答案

解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，∴，解得a2=4，b2=3，c=1．

∴椭圆方程为．

（2）设过椭圆C的右焦点的动直线l的方程为y=k（x-1），

联立化为（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，．

∵AB中点的横坐标为，∴，解得k=．

∴直线l的方程．

（3）由（2）知AB的中点为P，

直线PD的方程为，由y=0，得，

则D，∴=．

又||===．

∴===

又∵k2+1＞1，∴．∴．

∴的取值范围是．

解析

解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，∴，解得a2=4，b2=3，c=1．

∴椭圆方程为．

（2）设过椭圆C的右焦点的动直线l的方程为y=k（x-1），

联立化为（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，．

∵AB中点的横坐标为，∴，解得k=．

∴直线l的方程．

（3）由（2）知AB的中点为P，

直线PD的方程为，由y=0，得，

则D，∴=．

又||===．

∴===

又∵k2+1＞1，∴．∴．

∴的取值范围是．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，且与有相同的焦点，则其标准方程为______．

正确答案

解析

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=±2x，

则可设双曲线的方程为x2-=λ，λ≠0；

又由有的右焦点为（5，0），即焦点在x轴上且c=5，

则λ＞0；

则双曲线的方程可变形为 =1，

又由c=5，则5λ=25，解可得λ=5；

则此双曲线的标准方程是；

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆的左右两个焦点分别为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=2，|PF2|=4．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程；

（3）若以椭圆的长轴为直径作圆N，T为该圆N上异于长轴端点的任意点，再过原点O作直线TF2 的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线TQ与圆N的位置关系，并给出证明．

正确答案

解析

解：（1）设+=1（a，b＞0），因为点P在椭圆C上，

所以2a=|PF1|+|PF2|=6，

解得a=3，

在直角△PF1F2中，|F1F2|===2，

故椭圆的半焦距c=，

从而b2=a2-c2=9-5=4，

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=9，所以圆心M的坐标为（-2，1），

从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得

（5+9k2）x2+18（2k2+k）x+36（k2+k-1）=0，

因为A，B关于点M对称．所以=-=-2，

解得k=，

所以直线l的方程为y=（x+2）+1，

即10x-9y+29=0．（经检验，符合题意）．

（3）直线TQ与圆N相切．证明如下：易得椭圆右焦点为F2（，0），右准线为x=．

设点T（x0，y0），则有x02+y02=9，又=，kOQ=-，

∴直线OQ的方程为y=-x，令x=，得y=-，

即Q（，-），

所以kTQ====-，

又kOT=，于是有kOT•kTQ=-1，

故OT⊥TQ，∴直线TQ与圆N相切．

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