圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12．圆C：x2+y2+2x-4y-20=0的圆心为点A．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△AF1F2面积；

（3）求经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程；

（4）椭圆G是否在圆C的内部，请说明理由．

正确答案

解：（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0），半焦距为c，

则，解得，∴b2=a2-c2=36-27=9

所求椭圆G的方程为：；

（2 ）点A的坐标为（-1，2），所以；

（3）由题意，圆C：x2+y2+2x-4y-20=0可化为：（x+1）2+（y-2）2=25，圆心坐标为（-1，2），半径为5，

所以经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程为x=-3，y=4；

（4）把点（6，0）代入圆C方程可知道，（6，0）在圆C外，

若k＜0，由（-6）2+02-12k-0-21=15-12k＞0，可知点（-6，0）在圆Ck外，

∴不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G．

解析

解：（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0），半焦距为c，

则，解得，∴b2=a2-c2=36-27=9

所求椭圆G的方程为：；

（2 ）点A的坐标为（-1，2），所以；

（3）由题意，圆C：x2+y2+2x-4y-20=0可化为：（x+1）2+（y-2）2=25，圆心坐标为（-1，2），半径为5，

所以经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程为x=-3，y=4；

（4）把点（6，0）代入圆C方程可知道，（6，0）在圆C外，

若k＜0，由（-6）2+02-12k-0-21=15-12k＞0，可知点（-6，0）在圆Ck外，

∴不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G．

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题型：填空题

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填空题

已知直线y=kx 与椭圆+=1（a＞b＞0）和双曲线-=1依次交于A、B、C、D 四点，O为坐标原点，M为平面内任意一点（M与O不重合），若+++=λ，则λ等于______．

正确答案

4

解析

解：由椭圆和双曲线的对称性可得，B、C关于原点O对称，A、D关于原点O对称，

∴=2 ，+=2 ，故 +++=4 ，

∴λ=4．

1

题型：填空题

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填空题

以（1，2）为法向量的直线过椭圆的右焦点，则该直线方程为______．

正确答案

x+2y-4=0

解析

解：由题意，椭圆的右焦点为（4，0）

设直线l上任一M（x，y），又点P（4，0），

则 =（x-4，y），

又∵直线l的法向量，

∴有 ⊥，即（x-4）-2y=0，

即x+2y-4=0，

故答案为：x+2y-4=0

1

题型：填空题

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填空题

已知方程=1（m是常数）表示曲线C，给出下列命题：

①曲线C不可能为圆；

②曲线C不可能为抛物线；

③若曲线C为双曲线，则m＜1或m＞4；

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜m＜．

其中真命题的编号为______．

正确答案

②③④

解析

解：①由4-m=m-1，可得m=2.5，曲线能为圆，故不正确；

②因为方程中没有一次项，故曲线C不可能为抛物线，正确；

③若曲线C为双曲线，（4-m）（m-1）＜0，则m＜1或m＞4，正确；

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-m＞m-1＞0，所以1＜m＜，正确．

故答案为：②③④．

1

题型：简答题

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简答题

椭圆=1（a＞b＞1）的焦距为2c，直线l过点（b，0）和（0，c）

（1）若b=2，c=3，求此椭圆的准线方程；

（2）若点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和为sa，求椭圆的离心率e的取值范围．

正确答案

解：（1）∵b=2，c=3，

∴a2=b2+c2=13，

∴椭圆的准线方程为x=±=±．

（2）直线l的方程为，即cx+by-bc=0，

由点到直线的距离公式，且b＞1，得点（1，0）到直线l的距离．

同理得点点（-1，0）到直线l的距离．

∴s=d1+d2==，

由，得，即，

∴25c2（a2-c2）≥4a4，

∴25e4-25e2+4≤0，

∴，

∵0＜e＜1，

∴．

解析

解：（1）∵b=2，c=3，

∴a2=b2+c2=13，

∴椭圆的准线方程为x=±=±．

（2）直线l的方程为，即cx+by-bc=0，

由点到直线的距离公式，且b＞1，得点（1，0）到直线l的距离．

同理得点点（-1，0）到直线l的距离．

∴s=d1+d2==，

由，得，即，

∴25c2（a2-c2）≥4a4，

∴25e4-25e2+4≤0，

∴，

∵0＜e＜1，

∴．

1

题型：单选题

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单选题

直线y-kx-1=0（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，则b的取值范围是（　　）

A（0，1）

B（0，5）

C[1，5）∪（5，+∞）

D（1，+∞）

正确答案

C

解析

解：直线y-kx-1=0（k∈R）即y=kx+1，恒过定点（0，1），

由于直线y-kx-1=0（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，

只要定点（0，1）在椭圆上或椭圆内，

即有（b＞0，b≠5）

故b≥1且b≠5．

即b的取值范围是[1，5）∪（5，+∞）．

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点．

（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；

（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

正确答案

（I）证明：由题意，过且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），

∴直线OBi的方程为．

设Pi（x，y），由，解得，即x2=10y．

∴点都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．

（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，

联立消去y得到x2-10kx-100=0，

此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，

设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=-100，

∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=-4x2．

联立，解得．

∴直线l的方程为．即为3x+2y-20=0或3x-2y+20=0．

解析

（I）证明：由题意，过且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），

∴直线OBi的方程为．

设Pi（x，y），由，解得，即x2=10y．

∴点都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．

（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，

联立消去y得到x2-10kx-100=0，

此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，

设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=-100，

∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=-4x2．

联立，解得．

∴直线l的方程为．即为3x+2y-20=0或3x-2y+20=0．

1

题型：简答题

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简答题

如图，从椭圆E：上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，，

（1）求椭圆E的方程．

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且？若存在，写出该圆的方程，并求|CD|的取值范围；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）由题意可求点P的坐标为，由AB∥OP得，

∴，

椭圆E的方程为；

（2）假设存符合题意的圆，切线与椭圆的交点为C（x1，y1），D（x2，y2），

当该圆的切线不垂直x轴时，设其方程为y=kx+m，

由方程组，得x2+2（kx+m）2=10，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-10=0，

则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-10）=8（10k2-m2+5）＞0，即10k2-m2+5＞0，，

∴，

要使，需使x1x2+y1y2=0，即，

∴3m2-10k2-10=0，∴，

又10k2-m2+5＞0，∴，

∴，即或，

∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，

∴圆的半径为，，

所求的圆为，

此时圆的切线y=kx+m都满足或；

而当切线的斜率不存在时，切线为，与椭圆的两个交点为或，满足；

综上所述，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且．

∵，

∴，

∴===，

①当k≠0时，，

∵，∴，

∴，

∴＜|CD|，当且仅当时取”=”．

②当k=0时，易求；

③当CD的斜率不存在时，两个交点为或，∴此时；

综上所述，|CD|的取值范围为≤|CD|，即：．

解析

解：（1）由题意可求点P的坐标为，由AB∥OP得，

∴，

椭圆E的方程为；

（2）假设存符合题意的圆，切线与椭圆的交点为C（x1，y1），D（x2，y2），

当该圆的切线不垂直x轴时，设其方程为y=kx+m，

由方程组，得x2+2（kx+m）2=10，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-10=0，

则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-10）=8（10k2-m2+5）＞0，即10k2-m2+5＞0，，

∴，

要使，需使x1x2+y1y2=0，即，

∴3m2-10k2-10=0，∴，

又10k2-m2+5＞0，∴，

∴，即或，

∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，

∴圆的半径为，，

所求的圆为，

此时圆的切线y=kx+m都满足或；

而当切线的斜率不存在时，切线为，与椭圆的两个交点为或，满足；

综上所述，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且．

∵，

∴，

∴===，

①当k≠0时，，

∵，∴，

∴，

∴＜|CD|，当且仅当时取”=”．

②当k=0时，易求；

③当CD的斜率不存在时，两个交点为或，∴此时；

综上所述，|CD|的取值范围为≤|CD|，即：．

1

题型：填空题

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填空题

椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P为两曲线的一个交点，且PF1⊥PF2，则两曲线的离心率之积是______．

正确答案

解析

解：由题意设焦距为2m，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2b，不妨令P在双曲线的右支上

由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2b ①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②

又PF1⊥PF2，故|PF1|2+|PF2|2=4m2 ③

①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2b2④

∴a2+b2=2m2，

∵a2-b2=m2，

∴a2=m2，b2=m2

∴椭圆的离心率为，双曲线的离心率为

∴两曲线的离心率之积是==

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

过点P（-2，1）作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2=4y交于A，B两点，若直线AB与圆C：x2+（y-1）2=1交于不同两点M，N，则|MN|的最大值是______．

正确答案

2

解析

解：设直线AB的斜率为k，点A的坐标为（x0，y0），直线PA的斜率为k0，

则直线PA的方程为y-1=k0（x+2），

联立x2=4y，消去y，整理得x2-4k0x-8k0-4=0，

变形为[x-（4k+2）]（x+2）=0，得x0=2+4k0，

将x0的值代入抛物线的方程中，得，从而A（2+4k0，（1+2k0）2）．

易知，直线PB的斜率为-k0，同理得B（2-4k0，（1-2k0）2），

∴直线AB的斜率k=．

于是可设直线AB的方程为y=x+b，点M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立圆C与直线AB的方程，有，

消去y，整理得2x2+2（b-1）x+b2-2b=0，

由韦达定理，得x1+x2=1-b，．

∵直线AB与圆有两个公共点M，N，

∴△=（2b-2）2-4×2（b2-2b）＞0，解得．

由弦长公式，得|MN|==

==，

当b=1时，|MN|max=．

故答案为：2．

1

题型：单选题

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单选题

（2013秋•长沙校级期中）已知直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线y2=8x相交于P，Q两点，则以PQ为直径的圆与直线x=-2的位置关系是（　　）

A相切

B相交

C相离

D与k的值有关

正确答案

A

解析

解：直线y=k（x-2）恒过定点（2，0），

即为抛物线y2=8x的焦点F，

x=-2为抛物线y2=8x的准线，

以PQ为直径的圆的圆心M即为PQ的中点，

设P到直线x=-2的距离为m，

Q到直线x=-2的距离为n，

由抛物线的定义可得PF=m，QF=n，

即有M到直线x=-2的距离d=（m+n）=PQ，

故以PQ为直径的圆与直线x=-2相切．

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．

正确答案

解：（1）由实轴长为，得，

渐近线方程为x，即bx-2y=0，

∵焦点到渐近线的距离为，

∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，

∴双曲线方程为：；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，

由，

∴y1+y2=-4=12，

∴，解得，∴t=4，

∴，t=4．

解析

解：（1）由实轴长为，得，

渐近线方程为x，即bx-2y=0，

∵焦点到渐近线的距离为，

∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，

∴双曲线方程为：；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，

由，

∴y1+y2=-4=12，

∴，解得，∴t=4，

∴，t=4．

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题型：单选题

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单选题

曲线与曲线（k＜9）的（　　）

A焦距相等

B长、短轴相等

C离心率相等

D准线相同

正确答案

A

解析

解：对于曲线，a=5．b=3，c==4，离心率e=，准线方程为x=，

曲线，c==4，a=，b=，e=，准线方程为x=

∴当k≠0时，两个曲线的焦距相等．长、短轴、离心率和准线方程均不相同，

当k=0时两个曲线的方程相同，则焦距、长、短轴、离心率和准线方程均相同，

∴综合可知，两个曲线的焦距一定相等

故选A

1

题型：填空题

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填空题

已知直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，P为C的准线上一点，且S△ABP=36，则抛物线C的方程为______．

正确答案

y2=16x

解析

解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为F（），准线方程为x=-．

与C的对称轴垂直的直线l与C交于A、B两点，则|AB|=2p．

又P为C的准线上一点，∴P到AB的距离为p．

则S△ABP=，∴p=6．

∴抛物线C的方程为y2=16x．

故答案为y2=16x．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线上任一点M（x0，y0），设M关于x轴对称点为M1，双曲线的左右顶点分别为A1，A2．

（Ⅰ）求直线A1M与直线A1M1的交点P的轨迹C的方程．

（Ⅱ）设点F（-2，0），T为直线x=-3上任意一点，过F作直线l⊥TF交（I）中轨迹C于P、Q两点，①证明：OT经过线段PQ中点（O为坐标原点）：②当最小时，求点T的坐标．

正确答案

解：（1）双曲线的左右顶点分别为A1（-，0），A2（，0），点M（x0，y0），

设M关于x轴对称点为M1（x0，-y0）

直线A1M方程是y=（x+），①

线A2M1的方程是y=（x-），②

，③

所以3个方程化简得交点P的轨迹C的方程：=1

（2）（2）①F1（-2，0），T为（-3，m），

直线PQ方程：x=my-2，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，

即（m2+3）y2-4my-2=0，

△=16m2+8（m2+3）＞0，

∵y1+y2=，y1y2=，

∴x1+x2=m（y1+y2）-4=-，

∵线段PQ中点M（-，），

kOM=

∵T（-3，m），k0T=，

∴OT经过线段PQ中点M

②|TF|=，|PQ|==

=≥，

当且仅当m2+1=，m=±1，等号成立．

此时最小，T（-3，1）或T（-3，-1）

解析

解：（1）双曲线的左右顶点分别为A1（-，0），A2（，0），点M（x0，y0），

设M关于x轴对称点为M1（x0，-y0）

直线A1M方程是y=（x+），①

线A2M1的方程是y=（x-），②

，③

所以3个方程化简得交点P的轨迹C的方程：=1

（2）（2）①F1（-2，0），T为（-3，m），

直线PQ方程：x=my-2，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，

即（m2+3）y2-4my-2=0，

△=16m2+8（m2+3）＞0，

∵y1+y2=，y1y2=，

∴x1+x2=m（y1+y2）-4=-，

∵线段PQ中点M（-，），

kOM=

∵T（-3，m），k0T=，

∴OT经过线段PQ中点M

②|TF|=，|PQ|==

=≥，

当且仅当m2+1=，m=±1，等号成立．

此时最小，T（-3，1）或T（-3，-1）

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