热门试卷

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．

由得x=±1．

所以|AB|=．

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．

所以h=，S△ABC=|•h=2．

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，

由得4x2+6mx+3m2-4=0．

因为A，B在椭圆上，

所以△=-12m2+64＞0．

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1+x2=-，x1x2=，

所以|AB|=．

又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=．

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．

所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）

此时AB所在直线的方程为y=x-1．

（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），

由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，

∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；

（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），

由，消去x得：ky2-4y+4b=0．

∵直线l与抛物线相切，∴△=16-16kb=0，即．

∴直线l的方程为y=kx+．

令x=-1，得，

∴Q（-1，），

设切点坐标P（x0，y0），则，

解得：P（），

设M（m，0），

则

=

=．

当m=1时，．

∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．

解：（Ⅰ）由a2=2，b2=1，所以c2=a2-b2=1，所以c=1，则F1（-1，0），F2（1，0）

设M（x0，y0），则MF1的中点为，

，．

∵MF1⊥NF2，∴，即，

∴    （1）

又有  （2）

由（1）、（2）解得或（舍去）

所以点M 到y轴的距离为．

（Ⅱ）设P（x1，y1）Q（x2，y2），

∵OPRQ为平行四边形，∴x1+x2=xR，y1+y2=yR．

∵R点在椭圆上，∴，即，

即，

化简得，  （3）．

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

由△＞0，得2k2+1＞m2  （4），

且．                          

代入（3）式，得，

化简得4m2=1+2k2，代入（4）式，得m≠0．

又4m2=1+2k2≥1，解得或．

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1，a＞b＞0；

∵e==①，

|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6②，

a2-b2=c2③；

解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为；…4分

（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，

与椭圆的方程联立，得，

消去x，得

（3m2+4）y2+24my+36=0，

∴△=（24m）2-4×36（3m2+4）=144（m2-4）＞0，

即m2＞4；  …6分

设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，-y1），

由根与系数的关系，得；

直线RQ1的斜率为k==，且Q1（x1，y1），

∴直线RQ1的方程为y+y1=（x-x1）；

令y=0，得x===，

将①②代人上式得x=1；…9分

又S△TRQ=|ST|•|y1-y2|=

=18×

=18×

=18×≤，

当3=，即m2=时取得“=”；

∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．

解：（1）设点（-c，-y0），Q（c，y0），其中y0＞0，

∵点P在椭圆C上，∴，，∴

∴，∴．∴

从而 ，解得（舍去）．

（2）由（1）知，，∴

∴以PQ为直径的圆的方程为．

∵该圆与直线x+y+6=0相切，∴，∴b2=12，a2=24

∴椭圆的标准方程为．

解：（Ⅰ）∵抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，

∴可设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），

由直线方程可得，解得p=2，

∴抛物线C的方程为：y2=4x．

（Ⅱ）由（1）可知抛物线C的焦点坐标为（1，0），

设直线AB的方程为：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

∴，解得，

所求直线AB的方程为：．

解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为，得，解得c=1，

又e=，所以a=2，b2=a2-c2=3，

所以椭圆C的方程为；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：

（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，

因此，，

所以AB中点M（，），

又M在直线l1上，得3×+=0，

因为m≠0，所以k=1，故，，

所以|AB|==•=，

原点O到AB的距离为d=，

得到S=≤，当且仅当m2=取到等号，检验△＞0成立．

所以△OAB的面积S的最大值为．

解：（Ⅰ）∵G：=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，

∵过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，

∴=1，

解得a2=4，b2=1，

∴∴椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线AM的方程为y=k（x+2）（k＞0）．

由得C（4，6k）；

y=k（x+2）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，

设M（x0，y0），则（-2）x0=，

∴x0=，

∴y0=，

即M（，），

∵B（2，0），

∴直线BM的方程为y=-（x-2），

x=4时，y=-，∴D（4，-）

∴|CD|=|6k+|=4

∵k＞0，∴k=或，

从而M（0，1）或M（，）．

解：（Ⅰ）由题意得：直线l的斜率显然存在，

设直线l的方程为y=k（x-2）-1，

由，消去y得x2+4kx-8k-4=0，

∴△=（4k）2-4（-8k-4）=0，解得：k=-1，

∴直线l的方程是：x+y-1=0，

又∵直线l与圆c2相切，

∴d==1，解得：m=+1，或m=1-（舍去），

∴c2的方程是x2+=1；

（Ⅱ）设Q（x，y），则有，解得：x=-，y=1+，

∴|PQ|==2+1，

设d为点N到直线PQ的距离，则S△NPQ=d，

显然d的最大值为圆的直径，即点N与点Q位于直径的两端，

∴△NPQ面积的最大值为：S△NPQ===2+1．

解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1

∴直线AB的方程为y=x-1

联立方程可得x2-6x+1=0

∴xA+xB=6，xA•xB=1

（法一）：由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=xA+1+xB+1=xA+xB+2=8

（法二）：由弦长公式可得AB==•

==8