- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
已知椭圆E1：
（Ⅰ）求椭圆E2的方程；并证明椭圆E1，E2的离心率相同；
（Ⅱ）当λ=2时，设M，N是椭圆E1上的两个点，OM，ON的斜率分别是kOM，kON，且kOM•kON=-
正确答案
（Ⅰ）解：设椭圆E1，E2的离心率分别为e1，e2，则
∵长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的
∴椭圆E2的方程为
又长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的
∴焦距长也为椭圆E1焦距长的
∴椭圆E1，E2的离心率相同；
（Ⅱ）证明：设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），则
∵kOM•kON=-
∴
∴tanα•tanβ=-1，
∴cos（α-β）=0．
设P（x，y），则∵OMPN是平行四边形，
∴x=a（cosα+cosβ），y=b（sinα+sinβ），
∴λ=2时，
∴点P在椭圆E2上．
解析
（Ⅰ）解：设椭圆E1，E2的离心率分别为e1，e2，则
∵长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的
∴椭圆E2的方程为
又长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的
∴焦距长也为椭圆E1焦距长的
∴椭圆E1，E2的离心率相同；
（Ⅱ）证明：设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），则
∵kOM•kON=-
∴
∴tanα•tanβ=-1，
∴cos（α-β）=0．
设P（x，y），则∵OMPN是平行四边形，
∴x=a（cosα+cosβ），y=b（sinα+sinβ），
∴λ=2时，
∴点P在椭圆E2上．
设椭圆C：
（I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l是圆O：x2+y2=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可得
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心O到直线l的距离
∴1+k2=m2．
将直线l的方程和椭圆C的方程联立
设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则
∴
=
=
=
=0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得
综合上述可得，
解析
解：（Ⅰ）由题意可得
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心O到直线l的距离
∴1+k2=m2．
将直线l的方程和椭圆C的方程联立
设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则
∴
=
=
=
=0，
②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得
综合上述可得，
过点P（4，4）且与双曲线
正确答案
解析
解：因为a=4，b=3，所以双曲线的渐近线方程为y=±
则过P分别作出两条与渐近线平行的直线即与双曲线只有一个交点；
又因为双曲线与x轴右边的交点为（4，0），
所以点P与（4，0）确定的直线与双曲线也只有一个交点，
过点p还可以做一条与左支相切的直线，
故满足条件的直线共有4条．
故选D
动圆P与定圆O1：x2+y2+4x-5=0和O2：x2+y2-4x+3=0均外切，设P点的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点A（3，0）作直线l交曲线C于P、Q两点，交y轴于M点，若
正确答案
解：（1）Q1：（x+2）2+y2=9，Q2：（x-2）2+y2=1，
动圆的半径为r，则|PQ1|=r+3，
|PQ2|=r+1，|PQ1|-|PQ2|=2，…（3分）
点P的轨迹是以O1、O2为焦点的双曲线右支，
a=1，c=2，
方程为
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
当k不存在时，不合题意．
直线PQ的方程为y=k（x-3），
则
由
∴k2＞3…（10分）
解析
解：（1）Q1：（x+2）2+y2=9，Q2：（x-2）2+y2=1，
动圆的半径为r，则|PQ1|=r+3，
|PQ2|=r+1，|PQ1|-|PQ2|=2，…（3分）
点P的轨迹是以O1、O2为焦点的双曲线右支，
a=1，c=2，
方程为
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
当k不存在时，不合题意．
直线PQ的方程为y=k（x-3），
则
由
∴k2＞3…（10分）
已知抛物线y2=4x的准线与x轴的交点为A，焦点为F，l是过点A且倾斜角为
A1
B
C2
D
正确答案
解析
解：由题意，A（-1，0），F（1，0），则
过点A且倾斜角为
∴点F到直线l的距离=
故选：B．
已知抛物线C：y2=12x，点M（-1，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标等于2，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．
正确答案
（Ⅰ）解：设过点M（-1，0）的直线方程为y=k（x+1），
由 
因为k2≠0，且△=（2k2-12）2-4k4=144-48k2＞0，
所以，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
因为线段AB中点的横坐标等于2，所以
解得
（Ⅱ）证明：依题意A‘（x1，-y1），直线
又 
所以
因为
所以
所以，直线A'B恒过定点（1，0）．…（13分）
解析
（Ⅰ）解：设过点M（-1，0）的直线方程为y=k（x+1），
由
因为k2≠0，且△=（2k2-12）2-4k4=144-48k2＞0，
所以，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
因为线段AB中点的横坐标等于2，所以
解得
（Ⅱ）证明：依题意A‘（x1，-y1），直线
又
所以
因为
所以
所以，直线A'B恒过定点（1，0）．…（13分）
已知直线l：y=2x-4被抛物线C：y2=2px（p＞0）截得的弦长
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若抛物线C的焦点为F，求三角形ABF的面积．
正确答案
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵
而
即
∴p=2
故抛物线C的方程为：y2=4x．
（2）由（1）知F（1，0），
∴点F到AB的距离
∴
解析
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵
而
即
∴p=2
故抛物线C的方程为：y2=4x．
（2）由（1）知F（1，0），
∴点F到AB的距离
∴
过抛物线y2=4x的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（ ）
正确答案
解析
解：设过焦点F（1，0）所作直线与抛物线相交于两点A，B．
①当AB⊥x轴时，|AB|=2p=4，不满足题意，应舍去．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：y=k（x-1），
联立
∴x1+x2=
∴|AB|=x1+x2+p．
∴
综上可知：过焦点且被抛物线截得弦长为8的直线有且只有两条：y=±（x-1）．
故选：B．
已知动圆Q与x轴相切，且过点A（0，2）．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M方程；
（2）设B、C为曲线M上两点，P（2，2），PB⊥BC，求点C横坐标的取值范围．
正确答案
解：（1）设P（x，y）为轨迹上任一点，则
|y|=
化简得动圆圆心Q的轨迹M方程：y=
（2）设
∵P（2，2），
∴
∵PB⊥BC，
∴
∴
∴
当x1＞0时，
=-
=-6．
当x1＜0时，
=-
≥
=10
∴x2≥10 或x2≤-6．
故点C横坐标的取值范围是（-∞，-6]∪[10，+∞）．
解析
解：（1）设P（x，y）为轨迹上任一点，则
|y|=
化简得动圆圆心Q的轨迹M方程：y=
（2）设
∵P（2，2），
∴
∵PB⊥BC，
∴
∴
∴
当x1＞0时，
=-
=-6．
当x1＜0时，
=-
≥
=10
∴x2≥10 或x2≤-6．
故点C横坐标的取值范围是（-∞，-6]∪[10，+∞）．
已知两条抛物线 y1=x2+2mx+4，y2=x2+mx-m 中至少有一条与x轴有公共点，则实数m的取值范围是______．
正确答案
m≤-2 或m≥0
解析
解：若两条抛物线 y1=x2+2mx+4，y2=x2+mx-m 与x轴都没有公共点
则
解不等式组可得
∴-2＜m＜0
从而可得两条抛物线 y1=x2+2mx+4，y2=x2+mx-m 中至少有一条与x轴有公共点即为上述的反面
∴m≥0或m≤-2
故答案为：m≤-2或m≥0
当实数a，b变化时，直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0与直线m2x+2y-n2=0都过一个定点，记点（m，n）的轨迹为曲线C，P为曲线C上任意一点．若点Q（2，0），则PQ的最大值为______．
正确答案
解析
解：因为（2a+b）x+（a+b）y+a-b=（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0对于任意的a，b都成立，所以2x+y+1=0且x+y-1=0，二者联立，解得x=-2，y=3，即直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0过定点（-2，3）．
因此直线m2x+2y-n2=0也过定点（-2，3），将点坐标代入m2x+2y-n2=0，可得-2m2+6-n2=0，即点（m，n）在椭圆
∵P为曲线C上任意一点，点Q（2，0），
∴PQ的最大值为
故答案为：
设抛物线C：x2=4y的焦点为F，已知点A在抛物线C上，以F为圆心，FA为半径的圆交此抛物线的准线于B，D两点，且A、B、F三点在同一条直线上，则直线AB的方程为______．
正确答案
y=
解析
解：抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），
设A（m，
由题意可得，A，B关于F对称，
可得B（-m，2-
代入准线方程y=-1，可得2-
解得m=±2
可得AB的斜率为k=±
即有直线AB的方程为y=
故答案为：y=
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
（Ⅰ） 若
（Ⅱ） 求|AB|的最小值．
正确答案
解法一：（1）设直线l的方程为：x+my-1=0，
代入y2=4x，整理得，y2+4my-4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=-4m
根据抛物线的定义知：
|AB|=x1+x2+2=
若
即直线l有两条，其方程分别为：
（2）由（1）知，|AB|=4（m2+1）≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．
解法二：（1）由抛物线的焦点弦长公式|AB|=
知sinθ=±
即直线AB的斜率k=tanθ=±
故所求直线方程为：
（2）由（1）知|AB|=
∴|AB|min=4 （此时sinθ=1，θ=90°）
故|AB|有最小值4．
解析
解法一：（1）设直线l的方程为：x+my-1=0，
代入y2=4x，整理得，y2+4my-4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=-4m
根据抛物线的定义知：
|AB|=x1+x2+2=
若
即直线l有两条，其方程分别为：
（2）由（1）知，|AB|=4（m2+1）≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．
解法二：（1）由抛物线的焦点弦长公式|AB|=
知sinθ=±
即直线AB的斜率k=tanθ=±
故所求直线方程为：
（2）由（1）知|AB|=
∴|AB|min=4 （此时sinθ=1，θ=90°）
故|AB|有最小值4．
设椭圆
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2
正确答案
解：（Ⅰ）依题意可知
∵b2=a2-c2，
∴a2+b2=2a2-c2=3c2，
∴a2=2c2，
∴e=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，
∴b2=a2-c2=c2，
∴椭圆方程为
设P点坐标（
∵PB为直径，
∴BF1⊥PF1，
∴kBF1•kPF1=
求得sinθ=-
由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，
cosθ=
∴P坐标为（-
∴圆心O的坐标为（-
∴r=|OB|=
∵r2+|MF2|2=|OF2|2，
∴
∴c2=3，
∴a2=6，b2=3，
∴椭圆的方程为
解析
解：（Ⅰ）依题意可知
∵b2=a2-c2，
∴a2+b2=2a2-c2=3c2，
∴a2=2c2，
∴e=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，
∴b2=a2-c2=c2，
∴椭圆方程为
设P点坐标（
∵PB为直径，
∴BF1⊥PF1，
∴kBF1•kPF1=
求得sinθ=-
由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，
cosθ=
∴P坐标为（-
∴圆心O的坐标为（-
∴r=|OB|=
∵r2+|MF2|2=|OF2|2，
∴
∴c2=3，
∴a2=6，b2=3，
∴椭圆的方程为
已知p：“|a|=2”，q：“直线y=ax+1-a与抛物线y=x2相切”，则p是q的（ ）
正确答案
解析
解：当a=2时，直线y=2x-1，满足和抛物线y=x2相切，当a=-2时，直线y=-2x+3，不满足与抛物线y=x2相切．
故由|a|=2，不能推出直线y=ax+1-a与抛物线y=x2相切，故充分性不成立．
当直线y=ax+1-a与抛物线y=x2相切时，把直线方程代入抛物线方程化简可得x2-ax+a-2=0，
由题意可得，判别式△=a2-4（a-1）=0，∴a=2，∴|a|=2，
故必要性成立，故p是q的 必要不充分条件，
故选 B．
扫码查看完整答案与解析