圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题

抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（　　）

A4

B3

C4

D8

正确答案

C

解析

解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=-1，

由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，

由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，

即有△AKF为正三角形，

由F到l的距离为d=2，

则|AK|=4，

△AKF的面积是×16=4．

故选：C．

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆的离心率为，直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求该椭圆方程．

正确答案

解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵，∴，∴，∴a2=4b2．

设椭圆方程，

联立消y得5x2+8x+4-4b2=0，

∵直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，∴△=64-4×5×（4-4b2）＞0，化为5b3＞1．

∴（*）

∵OP⊥OQ，∴，

∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0．

∴2x1x2+x1+x2+1=0，

把（*）代入可得2+（）+1=0，

解得，∴．满足△＞0．∴．

∴．

∴椭圆方程为．

解析

解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵，∴，∴，∴a2=4b2．

设椭圆方程，

联立消y得5x2+8x+4-4b2=0，

∵直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，∴△=64-4×5×（4-4b2）＞0，化为5b3＞1．

∴（*）

∵OP⊥OQ，∴，

∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0．

∴2x1x2+x1+x2+1=0，

把（*）代入可得2+（）+1=0，

解得，∴．满足△＞0．∴．

∴．

∴椭圆方程为．

1

题型：简答题

|

简答题

给定椭圆C：+=1（a＞b＞0）．称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为．

（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．

正确答案

解：（1）由题意可得，c=，=a=，

则b2=a2-c2=1，

则椭圆C的方程为+y2=1．

其“准圆”方程为x2+y2=4．

（2）①设P（±，±1），则过P的直线l1：x=±，

则l2的斜率k≠0，即它们不垂直；

②设P（m，n）（m≠±），m2+n2=4，过P的直线为y-n=k（x-m），

联立椭圆方程，消去y，得到

（1+3k2）x2+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0，

由于直线与椭圆C都只有一个交点，则△=0，

即36k2（n-km）2-4（1+3k2）•3[（n-km）2-1]=0，

化简得，（3-m2）k2+2kmn+1-n2=0，

k1k2===-1．

即l1，l2垂直．

综上，当P在直线x=上时，l1，l2不垂直；

当P不在直线x=上时，l1，l2垂直．

解析

解：（1）由题意可得，c=，=a=，

则b2=a2-c2=1，

则椭圆C的方程为+y2=1．

其“准圆”方程为x2+y2=4．

（2）①设P（±，±1），则过P的直线l1：x=±，

则l2的斜率k≠0，即它们不垂直；

②设P（m，n）（m≠±），m2+n2=4，过P的直线为y-n=k（x-m），

联立椭圆方程，消去y，得到

（1+3k2）x2+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0，

由于直线与椭圆C都只有一个交点，则△=0，

即36k2（n-km）2-4（1+3k2）•3[（n-km）2-1]=0，

化简得，（3-m2）k2+2kmn+1-n2=0，

k1k2===-1．

即l1，l2垂直．

综上，当P在直线x=上时，l1，l2不垂直；

当P不在直线x=上时，l1，l2垂直．

1

题型：单选题

|

单选题

已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN，当时，则椭圆方程为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由长轴长为4得2a=4，解得a=2，

设P（x0，y0），直线l方程为y=kx，M（x1，kx1），N（-x1，-kx1），

则KPM=，KPN=，

由得，•=-，即=-，

所以=（4k2+1）-①，

又P在椭圆上，所以，即，代入①式得4b2-=（4k2+1）-，

所以4b2=（4k2+1）+（b2-1），

因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x0无关，

所以b2-1=0，解得b=1，

所以所求椭圆方程为．

故选D．

1

题型：单选题

|

单选题

已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有

（　　）个．

A0

B1

C2

D4

正确答案

C

解析

解：设△MF1F2的内切圆的半径等于r，则由题意可得 2πr=3π，∴r=．

由椭圆的定义可得 MF1 +MF2=2a=10，又 2c=6，

∴△MF1F2的面积等于（ MF1 +MF2+2c ）r=8r=12．

又△MF1F2的面积等于 2c yM=12，∴yM=4，故 M是椭圆的短轴顶点，故满足条件的点M有2个，

故选：C．

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆C的中心为坐标原点，离心率为，直线ℓ与椭圆C相切于M点，F1、F2为椭圆的左右焦点，且．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线m过F1点，且与椭圆相交于A、B两点，，求直线m的方程．

正确答案

解：（1）∵椭圆的离心率为，

∴

∴，c=1

∴b=1

∴椭圆C的标准方程为；

（2）由（1）知，F1（-1，0），设直线m的方程为x=my-1

代入椭圆方程可得（m2+2）y2-2my-1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

∴|AB|==

∵

∴|AB|=4-=

∴=

∴m=±1

∴直线m的方程为y=±（x+1）

解析

解：（1）∵椭圆的离心率为，

∴

∴，c=1

∴b=1

∴椭圆C的标准方程为；

（2）由（1）知，F1（-1，0），设直线m的方程为x=my-1

代入椭圆方程可得（m2+2）y2-2my-1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

∴|AB|==

∵

∴|AB|=4-=

∴=

∴m=±1

∴直线m的方程为y=±（x+1）

1

题型：简答题

|

简答题

点P到x轴的距离比它到点（0，1）的距离小1，称点P的轨迹为曲线C，点M为直线l：y=-m （m＞0）上任意一点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）当M的坐标为（0，-l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；

（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）∵点P到x轴的距离比点P到点（0，1）的距离小1，

∴点P到直线y=-1的距离等于点P到点（0，1）的距离，

∴点P的轨迹是焦点在（0，1），准线为y=-1的抛物线，

∴点P的轨迹方程为：x2=4y．

（2）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，

代入x2=4y，整理得x2-4kx+4=0，①

令△=（4k）2-4×4=0，解得k=±1，代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），|AB|=4．

∵M到AB的中点（0，1）的距离为2，

∴过M，A，B三点的圆的标准方程为x2+（y-1）2=4．

易知圆与直线l：y=-1相切．

（3）设M（x0，-m），过M的切线方程为：y=k（x-x0）-m．

联立整理得 x2-4kx+4（kx0+m）=0，

∵直线与抛物线相切，∴△=0．

即16k2-16（kx0+m）=0，整理得k2-kx0-m=0，

∴kMA+kMB=x0，kMA•kMB=-m

若MA⊥MB，则kMA•kMB=-m=-1．

即m=1时，直线l上任意一点M均有MA⊥MB；

m≠1时，MA与MB不垂直．

综上所述，当m=1时，直线l上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，

当m≠1时，直线l上不存在满足条件的点M．

解析

解：（1）∵点P到x轴的距离比点P到点（0，1）的距离小1，

∴点P到直线y=-1的距离等于点P到点（0，1）的距离，

∴点P的轨迹是焦点在（0，1），准线为y=-1的抛物线，

∴点P的轨迹方程为：x2=4y．

（2）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，

代入x2=4y，整理得x2-4kx+4=0，①

令△=（4k）2-4×4=0，解得k=±1，代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），|AB|=4．

∵M到AB的中点（0，1）的距离为2，

∴过M，A，B三点的圆的标准方程为x2+（y-1）2=4．

易知圆与直线l：y=-1相切．

（3）设M（x0，-m），过M的切线方程为：y=k（x-x0）-m．

联立整理得 x2-4kx+4（kx0+m）=0，

∵直线与抛物线相切，∴△=0．

即16k2-16（kx0+m）=0，整理得k2-kx0-m=0，

∴kMA+kMB=x0，kMA•kMB=-m

若MA⊥MB，则kMA•kMB=-m=-1．

即m=1时，直线l上任意一点M均有MA⊥MB；

m≠1时，MA与MB不垂直．

综上所述，当m=1时，直线l上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，

当m≠1时，直线l上不存在满足条件的点M．

1

题型：简答题

|

简答题

（2015秋•哈尔滨校级月考）若过点 M（1，0）作直线交抛物线C：y2=x于 A，B两点，且满足，过 A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，l1，l2的交点为 N．

参考公式：过抛物线y2=2px上任一点（x0，y0）作抛物线的切线，则切线方程为yy0=p（x+x0）．

（I）求证：点 N在一条定直线上；

（II）若λ∈[4，9]，求直线 MN在y轴上截距的取值范围．

正确答案

解：（I）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），

联立抛物线的方程，可得ky2-y-k=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1y2=-1，y1+y2=，

由点A处的切线的方程为y1y=（x+x1），

由点B处的切线的方程为y2y=（x+x2），

且y12=x1，y22=x2，

可得y1，y2是关于t的方程t2-2ty+x=0，

即有y1y2=x，

即有x=-1，即为交点N的横坐标，

故点N在一条定直线x=-1上；

（Ⅱ）∵=λ，∴（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），

联立可得，

===λ+-2，4≤λ≤9，

∴≤≤即有≤≤或-≤≤-，

由（Ⅰ）可得N（-1，）即为（-1，），

直线MN：y=-（x-1）在y轴的截距为，

∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[，]∪[-，-]．

解析

解：（I）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），

联立抛物线的方程，可得ky2-y-k=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1y2=-1，y1+y2=，

由点A处的切线的方程为y1y=（x+x1），

由点B处的切线的方程为y2y=（x+x2），

且y12=x1，y22=x2，

可得y1，y2是关于t的方程t2-2ty+x=0，

即有y1y2=x，

即有x=-1，即为交点N的横坐标，

故点N在一条定直线x=-1上；

（Ⅱ）∵=λ，∴（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），

联立可得，

===λ+-2，4≤λ≤9，

∴≤≤即有≤≤或-≤≤-，

由（Ⅰ）可得N（-1，）即为（-1，），

直线MN：y=-（x-1）在y轴的截距为，

∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[，]∪[-，-]．

1

题型：单选题

|

单选题

点P在曲线C：+y2=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（　　）

A曲线C上的所有点都是“H点”

B曲线C上仅有有限个点是“H点”

C曲线C上的所有点都不是“H点”

D曲线C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”

正确答案

D

解析

解：由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设-2≤xP＜xA≤2，（此时PA=AB）．

由相似三角形，2|4-xA|=|4-xP|

即：xP=2xA-4…①

设PA：y=kx+m，与椭圆联立方程组，

解得

xAxP=…②

∵△＞0

4k2＞m2-1…③

联立①②③，得xA2-2xA＜

而0＜＜2

即xA2-2xA＜2

即1-≤xA≤2

而当xA＜1时，xP=2xA-4＜-2，故此时不存在H点

又因为P的位置可以和A互换（互换后即PA=PB），

所以H点的横坐标取值为[-2，0]U[1，2]

故选D

1

题型：简答题

|

简答题

如图，过抛物线C：x2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点Q是P关于原点的对称．

（1）求证：x1x2=-4m；

（2）设P分有向线段所成的比为λ，若，求证：λ=μ．

正确答案

证明：（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立得x2-4kx-4m=0，

∴x1x2=-4m．

（2）由P分有向线段所成的比为λ得，

∵=（0，2m），，，

∴=（x1-μx2，y1+m-μ（y2+m）），

∵，∴2m[y1-μy2+（1-μ）m]=0，

又，．

∴，

把x1x2=-4m代入上式得，

∴，

化为λ2+（1-μ）λ-μ=0，

∴λ=-1或λ=μ，而显然λ＞0，

∴λ=μ．

解析

证明：（1）设l方程为：y=kx+m，与抛物线的方程联立得x2-4kx-4m=0，

∴x1x2=-4m．

（2）由P分有向线段所成的比为λ得，

∵=（0，2m），，，

∴=（x1-μx2，y1+m-μ（y2+m）），

∵，∴2m[y1-μy2+（1-μ）m]=0，

又，．

∴，

把x1x2=-4m代入上式得，

∴，

化为λ2+（1-μ）λ-μ=0，

∴λ=-1或λ=μ，而显然λ＞0，

∴λ=μ．

1

题型：单选题

|

单选题

已知曲线f（x）=x3+x2+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2px2相切，则过该抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长为（　　）

A

B

C8

D4

正确答案

D

解析

解：∵f（x）=x3+x2+x+3，

∴f′（x）=3x2+2x+1，

∴f′（-1）=2，

由已知可得k=f′（-1）=2，

∵切点为（-1，2），∴切线方程为y-2=2（x+1），即y=2x+4．

设此直线与抛物线切于点（x0，2px02），

则k=4px0=2，得px0=，

∵2x0+4=2px02，解得x0=-4，p=-，

∴抛物线的方程为x2=-4y，

其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，

故选D．

1

题型：填空题

|

填空题

过双曲线的右焦点F作直线l与双曲线交于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有______条．

正确答案

2

解析

解：如图所示，

由双曲线得a2=b2=4，∴=．可得：顶点（±2，0），右焦点F．

①假设l⊥x轴，把x=代入双曲线方程得，解得y=±2，此时|AB|=4满足条件，因此直线x=满足题意；

②假设直线l的斜率k=0，即取x轴时，直线l与双曲线的两个交点分别为左右顶点，此时满足|AB|=4．

③假设直线l的斜率存在且不为0时，由双曲线的性质可得：若直线l与双曲线的右支相交于两点，则两个交点的距离|AB|＞直线l经过右焦点且与x轴垂直时的两个交点的距离4；

若直线l与双曲线的左右支相交于两点，则两个交点的距离|AB|＞两个顶点的距离4．

综上可知：满足条件的直线有且只有2条．

故答案为2．

1

题型：简答题

|

简答题

（2015秋•慈溪市校级期中）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；

（2）若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：•为定值．

正确答案

解：（1）由题意可得b=c，bc=1，

解得b=c=，a==2，

即有椭圆的方程为+=1；

（2）由题意直线MC的斜率存在，

设其方程为y=k（x+2），

代入椭圆方程x2+2y2=4，得

（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，

由xP（-2）=，

解得xP=-，yP=，

令x=2，解得yM=4k，即M（2，4k），

所以•=2•（-）+4k•=4为定值．

解析

解：（1）由题意可得b=c，bc=1，

解得b=c=，a==2，

即有椭圆的方程为+=1；

（2）由题意直线MC的斜率存在，

设其方程为y=k（x+2），

代入椭圆方程x2+2y2=4，得

（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0，

由xP（-2）=，

解得xP=-，yP=，

令x=2，解得yM=4k，即M（2，4k），

所以•=2•（-）+4k•=4为定值．

1

题型：简答题

|

简答题

如图所示，设点F坐标为（1，0 ），点P在y轴上运动，点M在x轴运动上，其中•=0，若动点N满足条件=

（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；

（Ⅱ）过点F（1，0 ）的直线l和l′分别与曲线E交于A、B两点和C、D两点，若l⊥l′，试求四边形ACBD的面积的最小值．

正确答案

（Ⅰ）设N（x，y ），M （x0，0），P （0，y0），F（1，0 ），

则=（x0，-y0），=（x，y-y0），，

由•=0，得x0+=0 ①

由=，得，得（x+x0，y-2y0）=0，即，∴．

代入①得，y2=4x即为所求；

（Ⅱ）设l方程为y=k（x-1），由，消去x，得y2-

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-4，，于是

=，

设l′的方程为y=，由，消去x，得y2+4ky-4=0．

设C（x3，y3），D（x4，y4），则y3y4=4，y3+y4=-4k．

∴．

于是

=．

解析

（Ⅰ）设N（x，y ），M （x0，0），P （0，y0），F（1，0 ），

则=（x0，-y0），=（x，y-y0），，

由•=0，得x0+=0 ①

由=，得，得（x+x0，y-2y0）=0，即，∴．

代入①得，y2=4x即为所求；

（Ⅱ）设l方程为y=k（x-1），由，消去x，得y2-

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-4，，于是

=，

设l′的方程为y=，由，消去x，得y2+4ky-4=0．

设C（x3，y3），D（x4，y4），则y3y4=4，y3+y4=-4k．

∴．

于是

=．

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），且其右焦点与抛物线的焦点F重合．

①求椭圆C1的方程；

②直线l经过点F与椭圆C1相交于A、B两点，与抛物线C2相交于C、D两点．求的最大值．

正确答案

解：如图，

①解法1：由抛物线方程为y2=4x，得其焦点F（1，0），

∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．

故a2-b2=c2=1 ①

又椭圆C1经过点，∴ ②

由①②消去a2并整理，得，4b4-9b2-9=0，解得：b2=3，或（舍去），

从而a2=b2+1=4．故椭圆的方程为．

解法2：由抛物线方程，得焦点F（1，0），

∴c=1．

∴椭圆C1的左右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．

∵椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），

∴=4．

∴a=2，则a2=4，b2=a2-c2=4-1=3．

故椭圆的方程为．

②当直线l垂直于x轴时，

则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，-2）．∴．

当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x-1）．

联立，得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

△=（-8k2）2-4×（3+4k2）×（-12）=64k4+192k2+144＞0．

∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，．

所以，=

=

=．

由，得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0．

△=[-（2k2+4）]2-4k4=16k2+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C（x3，y3），D（x4，y4）．

∵k≠0，∴，

由抛物线的定义，得．

∴=．

综上，当直线l垂直于x轴时，取得最大值．

解析

解：如图，

①解法1：由抛物线方程为y2=4x，得其焦点F（1，0），

∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．

故a2-b2=c2=1 ①

又椭圆C1经过点，∴ ②

由①②消去a2并整理，得，4b4-9b2-9=0，解得：b2=3，或（舍去），

从而a2=b2+1=4．故椭圆的方程为．

解法2：由抛物线方程，得焦点F（1，0），

∴c=1．

∴椭圆C1的左右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．

∵椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），

∴=4．

∴a=2，则a2=4，b2=a2-c2=4-1=3．

故椭圆的方程为．

②当直线l垂直于x轴时，

则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，-2）．∴．

当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x-1）．

联立，得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

△=（-8k2）2-4×（3+4k2）×（-12）=64k4+192k2+144＞0．

∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，．

所以，=

=

=．

由，得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0．

△=[-（2k2+4）]2-4k4=16k2+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C（x3，y3），D（x4，y4）．

∵k≠0，∴，

由抛物线的定义，得．

∴=．

综上，当直线l垂直于x轴时，取得最大值．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析