热门试卷

解：（Ⅰ），

曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，

于是，解得或，

因a，b∈Z，故．令，满足，

所以g（x）是奇函数，其图象是以原点（0，0）为中心的中心对称图形．                         

而函数g（x）的图象按向量=（1，1）平移，即得到函数的图象，

故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．                          

（（II）证明：在曲线上任取一点．  

 由知，过此点的切线方程为．                 

令x=1得，切线与直线x=1交点为．                   

令y=x得y=2x0-1，切线与直线y=x交点为（2x0-1，2x0-1）．

直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．                                     

从而所围三角形的面积为S=．

所以，所围三角形的面积为定值2．                                        

（III）将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后得到的函数为，

它与抛物线y=ax2的交点个数等于方程=ax2的解的个数．

方程=ax2等价于，即a=t3+t2+t（t≠0），

记G（t）=t3+t2+t（t≠0），G′（t）=3t2+2t+1，△=22-4×3×1＜0，

∴G′（t）＞0，G（t）=t3+t2+t在R上为单调递增函数，

且G（t）=t（t2+t+1），t→∞时t2+t+1→+∞，G（t）的值域为R，

所以y=a（a≠0）与y=G（t）（t≠0）有且只有一个交点，即将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后，

与抛物线y=ax2有且只有一个交点．

解：（1）根据双曲线的焦点在x轴上，两个顶点A1，A2间的距离为2，焦点到渐近线的距离为，

可得双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），a=1，

根据焦点（，0），到渐近线y=bx的距离为可得=，求得b=，

∴双曲线的标准方程为 x2-=1．

（2）由题意可得A1（-1，0），A2（1，0），设点M的坐标为（x，y），则有 x2-=1，即 y2=2（x2-1）．

直线MA1和MA2的斜率分别是k1=，k2=，可得k1k2==-2．

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=x-1，代入y2=4x中

可得：x2-6x+1=0

则x1+x2=6，由定义可得：|AB|=x1+x2+p=8．

（2）由（1）可设N（x0，x0+1），

则

即

由x1+x2=6，x1x2=1，y1y2=-4，y1+y2=4

则

当x0=2时，的最小值为-14．                              

（3）设CD的中点为O‘，l与以CD为直径的圆相交于点P、Q，

设PQ的中点为H，则O'H⊥PQ，O'点的坐标为．

∵，

，

∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=

=（a-1）x1-a2+2a，∴|PQ|2=（2|PH|）2=4[（a-1）x1-a2+2a]．                         

令a-1=0，得a=1，此时|PQ|=2为定值，

故满足条件的直线l存在，其方程为x=1，即抛物线的通径所在的直线．

（1）解：左焦点F（-，0），则c=，

离心率为，则，即有a=2，b=1，

则椭圆方程+y2=1；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

设直线AB：y=k（x+），

消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2-4=0，

所以x1+x2=-，x0==-，

y0=k（x0+）=，

因为=0，所以点M在直线l上；

（3）解：由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，

因△BDM的面积是△ACM面积的3倍，所以DM=3CM，又|OD|=|OC|，

于是M是OC的中点，

设点C的坐标为（x3，y3） 则y0=，

因为，解得y3=，

于是，解得k2=，

所以k=．

解：（1）设O为坐标原点，则PO为△PAB的中线，

∴，，

因此，当P在短轴上顶点时，取得最小值2，即2b=2，解得b=1，

依题意得：，即，即，∴a2=4，

∴椭圆C的方程为：；

（2）由题意知直线NP，NQ斜率均存在，设为KNP=k，，

则此两直线方程分别为：LNP：y=k（x-1），，

又，（O为原点），因此，只要满足即可，

故=-1，化简为：xP+xQ=1，

由半椭圆方程得：，则=-1，即=-4xPxQ，

令xPxQ=t≤0且xP+xQ=1，故，

化简为：15t2-8t-12=0，解得t=-或t=（舍去），∴，

解之得：或，

因此，直线NP、NQ能使得与互相垂直．

解：（1）由2b=2，得b=1．                                  …（1分）

由，得．                        …（2分）

∴椭圆C1的方程是．                              …（3分）

依题意有，得p=2，…（4分）

∴抛物线C2的方程是y2=4x．…（5分）

（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n．

由直线l与椭圆C1相切，可得；

由直线与抛物线C2相切得n=0．

∴此时符合题设条件的直线l不存在．…（7分）

②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n   …（8分）

当直线l与椭圆C1相切时，联立，得（1+2k2）x2+4knx+2n2-2=0，

由，得n2=2k2+1，…（10分）

当直线l与抛物线C2相切时，联立，得k2x2+2（kn-2）x+n2=0，

由，得kn=1，…（12分）

联立，解得或，．…（13分）

综上，直线l的方程为．…（14分）

解：函数y=x2+2x的导数为y′=2x+2，在切点P（）处的切线方程为

同理，曲线C2的在切点Q（x2，2x2）的切线方程为

由可得，因为公切线有且仅有一条，所以△=0

∴a=-时，P，Q重合，公切线方程为：

（1）解：由题意知，，解得a2=4，b2=3，

∴椭圆的方程为；

（2）证明：当直线l过椭圆长轴两个顶点时，Q与顶点重合，此时|OQ|=2；

当直线l不过椭圆长轴两个顶点时，设切线方程为y=kx+m，

联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．

由△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=0，得m2=4k2+3．

∵F（1，0），且FQ⊥l，

∴FQ所在直线方程为y=，

联立，解得Q（），

∴|OQ|==

==．

故|OQ|为定值2．

解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴b=c，∴，

∴．

又∵椭圆经过点，代入得，解得b=1，

∴，

故所求椭圆方程为．

（2）由动直线mx+，得到动直线l过定点（0，）．                             

当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：．

当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．

由

即两圆相切于点（0，1），

因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．

事实上，点T（0，1）就是所求的点．                                      

证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

若直线l不垂直于x轴，可设直线L：

由

记点A（x1，y1）、

，

=

=

∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）

∴在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．

解：（1）设曲线C：y=x2的点P（x，x2），

则，

∴当x=1时，d取得最小值．

曲线C：y=x2到直线l：2x-y-4=0的距离为．               

（2）由题意，得，．                    

（3）∵，

∴曲线是中心在（2，2）的双曲线的一支．   

由函数图象的对称性知，当P、Q是直线y=x和圆、双曲线的交点时，|PQ|有最小值．

此时，解方程组得Q（3，3），

于是，

∴圆O：x2+y2=1到曲线的距离为．

解：（1）∵，即p=2，

∴所求抛物线的方程为y2=4x--------------------------------（2分）

∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为（x-2）2+y2=4．--------------（4分）

（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，

∵=4x1，=4x2，

∴x1x2=16，--------------------------------（6分）

∵=，

∴=•=（+）（+）=，

=[+4x1x2（x1+x2）+16x1x2]

≥[+4x1x2•2+16x1x2]

=256，

∴≥16，当且仅当x1=x2=4时取等号，

∴△GOH面积最小值为16．-------------------------------------------（9分）

（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）

∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，

∴=4x3，=4x4，

两式相减得：（y3-y4）（y3+y4）=4（x3-x4）--------------------------------（11分）

∴y3+y4=4•==-4k，

∴y0=-2k

∵D（x0，y0）在m：y=k（x-1）（k≠0）上

∴x0=-1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外--------------------------------（13分）

∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．--------------------------（14分）

解：（1）∵c=1，且a2，b2，c2成等差数列，

∴a2=b2+1，且2b2=a2+1；

解得a2=3，b2=2；

∴椭圆C的方程是+=1； …（5分）

（2）将y=kx+1代入椭圆方程，得+=1；

 化简得，（3k2+2）x2+6kx-3=0；

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=-，x1x2=-； …（8分）

∴•=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）

=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1

=--+1

=

=-2+； …（10分）

由k2≥0，得3k2+2≥2，

∴0＜≤，

∴-2＜-2+≤-；

∴•的取值范围是（-2，-]．…（13分）